- 直线与圆锥曲线
- 共2643题
已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点A（-1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动点，求
（3）试问在圆x2+y2=a2上，是否存在一点M，使△F1MF2的面积S=b2（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F1，F2为椭圆的两个焦点），若存在，求tan∠F1MF2的值，若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）因为抛物线y2=16x的焦点和双曲线
所以a=5，c=4
所以椭圆的标准方程：
（2）设P（x0，y0），则
CD：3x+5y-15=0（0≤x≤5）
则当OP⊥CD时，取到最小值，即：
当P在D点时，取到最大值：OD=5
所以：
（3）如图所示：
由第一问可知，圆的方程为x2+y2=25．△F1MF2的面积S=b2=9．
设M（x，y）．又△F1MF2的面积S=b2=9=
又F1（-4，0）F2（4，0）．设直线MF2的倾斜角为α，直线MF1的倾斜角为β，
则tan∠F1MF2=tan（α-β）=
即tan∠F1MF2的值2．
解析
解：（1）因为抛物线y2=16x的焦点和双曲线
所以a=5，c=4
所以椭圆的标准方程：
（2）设P（x0，y0），则
CD：3x+5y-15=0（0≤x≤5）
则当OP⊥CD时，取到最小值，即：
当P在D点时，取到最大值：OD=5
所以：
（3）如图所示：
由第一问可知，圆的方程为x2+y2=25．△F1MF2的面积S=b2=9．
设M（x，y）．又△F1MF2的面积S=b2=9=
又F1（-4，0）F2（4，0）．设直线MF2的倾斜角为α，直线MF1的倾斜角为β，
则tan∠F1MF2=tan（α-β）=
即tan∠F1MF2的值2．
中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F1，F2，
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为两曲线的交点（P在第一象限），求
正确答案
解：（1）由题意知，半焦距c=
离心率之比为
∴a=7，
∴椭圆的短半轴等于
∴椭圆和双曲线的方程分别为：
（2）由椭圆的定义得：PF1 +PF2=2a=14，
由双曲线的定义得：PF1-PF2=6，
∴PF1=10，PF2=4，
又F1F2=2
∴cos∠F1PF2=
则
解析
解：（1）由题意知，半焦距c=
离心率之比为
∴a=7，
∴椭圆的短半轴等于
∴椭圆和双曲线的方程分别为：
（2）由椭圆的定义得：PF1 +PF2=2a=14，
由双曲线的定义得：PF1-PF2=6，
∴PF1=10，PF2=4，
又F1F2=2
∴cos∠F1PF2=
则
在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，-
（I）写出曲线C的方程．
（II）当∠AOB是锐角时，求k的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以
它的短半轴
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
消去y得，（k2+4）x2+2kx-3=0．
△=4k2-4（k2+4）（-3）=16k2+48＞0，
若∠AOB是锐角，则
而
于是
所以
解析
解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以
它的短半轴
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
消去y得，（k2+4）x2+2kx-3=0．
△=4k2-4（k2+4）（-3）=16k2+48＞0，
若∠AOB是锐角，则
而
于是
所以
已知定点A（1，0）和定直线l：x=-1，在l上有两动点E，F且满足
正确答案
解析
解：设P（x，y），E（-1，y1），F（-1，y2）（y1，y2均不为零）
由
由
由
故选B．
正确答案
解：设P（x，y），M（xm，0），N（xn，0）（2分）
由M，P，B1三点共线，知
所以
同理得
故点P轨迹方程为
解析
解：设P（x，y），M（xm，0），N（xn，0）（2分）
由M，P，B1三点共线，知
所以
同理得
故点P轨迹方程为
在△ABC中，顶点A，B，C所对三边分别是a，b，c已知B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列．
（I）求顶点A的轨迹方程；
（II） 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P（0，-
正确答案
解：（I）由题知
由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为
∴顶点A的轨迹方程为
（II）由
∴△=（8km）2-4（3+4k2）×4（m2-3）＞0，
整理得：4k2＞m2-3．①
令M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
设MN的中点P（x0，y0），则
i）当k=0时，由题知，m∈（-
ii）当k≠0时，直线l方程为
由P（x0，y0）在直线l上，得
把②式代入①中可得2m-3＞m2-3，解得0＜m＜2．
又由②得2m-3=4k2＞0，解得m＞
∴
验证：当（-2，0）在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k无解，即y=kx+m不会过椭圆左顶点．
同理可验证y=kx+m不过右顶点．
∴m的取值范围为（
综上，当k=0时，m的取值范围为（-
解析
解：（I）由题知
由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为
∴顶点A的轨迹方程为
（II）由
∴△=（8km）2-4（3+4k2）×4（m2-3）＞0，
整理得：4k2＞m2-3．①
令M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
设MN的中点P（x0，y0），则
i）当k=0时，由题知，m∈（-
ii）当k≠0时，直线l方程为
由P（x0，y0）在直线l上，得
把②式代入①中可得2m-3＞m2-3，解得0＜m＜2．
又由②得2m-3=4k2＞0，解得m＞
∴
验证：当（-2，0）在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k无解，即y=kx+m不会过椭圆左顶点．
同理可验证y=kx+m不过右顶点．
∴m的取值范围为（
综上，当k=0时，m的取值范围为（-
已知椭圆
A
B
C2
D4
正确答案
解析
解：∵双曲线方程为
∴焦点在x轴上
∴3m2-n2=2m2+3n2
∴m2=4n2
∴
故选D
若平面内一条直线l与曲线C有且仅有一个公共点，下列命题正确的是______（填序号）
①若C是圆，则l与一定相切；
②若C是抛物线，则l与C一定相切；
③若C是椭圆，则l与C一定相切；
④若C是双曲线，则l与C一定相切．
正确答案
①③
解析
解：①若C是圆，则l与一定相切，正确；
②若C是抛物线，则l与C相切或与对称轴平行，不正确；
③若C是椭圆，则l与C一定相切，正确；
④若C是双曲线，则l与C相切或与渐近线平行，不正确．
故答案为：①③．
平面内与两定点A1（-a，0），A2（a，o）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．那么当m满足条件______时，曲线C是圆；当m满足条件______ 时，曲线C是双曲线．
正确答案
m=-1
m＞0
解析
解：设动点为M，其坐标（x，y）．
当x≠±a时，由条件可得k1•k2=
即mx2-y2=ma2（x≠±a）．又A1（-a，0），A2（a，0）的坐标满足mx2-y2=ma2．
故依题意，曲线C的方程为mx2-y2=ma2．
当m＜-1时，曲线C的方程为 
当m=-1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C 的方程为 
当m＞0时，曲线C的方程为 
故答案为：m=-1，m＞0．
设椭圆
（ ）
A3
B
C
D
正确答案
解析
解：∵椭圆
∴m-2=3+1
∴m=6
∴|PF1|+|PF2|=2
两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12
∴|PF1|•|PF2|=3
故选A．
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