直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点F1（-5，0）、F2（5，0），且它们的离心率e都可以使方程x2+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，求椭圆和双曲线的标准方程．

正确答案

解：由题意可设椭圆的方程为

双曲线的方程为

且c1=c2=5

设椭圆的离心率为 e1，0＜e1＜1，

双曲线的离心率为e2，e2＞1

又e1，e2使得方程x2+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，

所以△=（1-2e）2-4×（2e-1）=0

解得，或，

即，，

所以可得

所以所求椭圆方程为，

双曲线的方程为

解析

解：由题意可设椭圆的方程为

双曲线的方程为

且c1=c2=5

设椭圆的离心率为 e1，0＜e1＜1，

双曲线的离心率为e2，e2＞1

又e1，e2使得方程x2+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，

所以△=（1-2e）2-4×（2e-1）=0

解得，或，

即，，

所以可得

所以所求椭圆方程为，

双曲线的方程为

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0），M为椭圆上的一点，且满足∠F1MF2=．

（1）求椭圆离心率的取值范围；

（2）当椭圆的离心率e=，且与圆x2+y2=5相交于P（2，y0）（y0＞0）时，求此时椭圆C 的方程．

正确答案

解：（1）在△MF1F2中，MF2=4c2，即（MF1+MF2）2-3MF1•MF2=4c2，

即4a2-4c2=3MF1•MF2，

由MF1•MF2≤=a2，当且仅当MF1=MF2=a时取等号．

∴4a2-4c2≤3c2，即a2≤4c2，

∴e2≥，

∴e∈[，1）；

（2）因为P（2，y0）在圆上，所以y0=1，即P（2，1），

由e=得a=c，又a2=b2+c2，所以b=c，

设椭圆的方程为，

因为P在椭圆上，所以，解得c2=3，

所以所求的椭圆的方程为：．

解析

解：（1）在△MF1F2中，MF2=4c2，即（MF1+MF2）2-3MF1•MF2=4c2，

即4a2-4c2=3MF1•MF2，

由MF1•MF2≤=a2，当且仅当MF1=MF2=a时取等号．

∴4a2-4c2≤3c2，即a2≤4c2，

∴e2≥，

∴e∈[，1）；

（2）因为P（2，y0）在圆上，所以y0=1，即P（2，1），

由e=得a=c，又a2=b2+c2，所以b=c，

设椭圆的方程为，

因为P在椭圆上，所以，解得c2=3，

所以所求的椭圆的方程为：．

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题型：填空题

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填空题

方程所表示的曲线为C，有下列命题：

①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；

②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；

③曲线C不可能为圆；

④若曲线C表示焦点在y上的双曲线，则t＞4；

以上命题正确的是______（填上所有正确命题的序号）．

正确答案

②④

解析

解：①若C为椭圆应该满足即2＜t＜4且t≠3，故①错；

②若C为双曲线应该满足（4-t）（t-2）＜0即t＞4或t＜2故②对；

③当4-t=t-2即t=3表示圆，故③错；

④若C表示双曲线，且焦点在y轴上应该满足t-2＞0，t-4＞0则t＞4，故④对

综上知②④正确

故答案为②④．

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题型：单选题

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单选题

若点（x0，y0）满足，就叫点（x0，y0）在抛物线y2=4x的内部．若点（x0，y0）在抛物线y2=4x的内部，则直线y0y=2（x0+x）与抛物线y2=4x（　　）

A有一个公共点

B至少有一个公共点

C恰有两个公共点

D无公共点

正确答案

D

解析

解：由y0y=2（x0+x）可得，代入抛物线y2=4x

即y2=2y0y-4x0

∴y2-2y0y+4x0=0

∴=4（）

∵点（x0，y0）在抛物线y2=4x的内部

∴

∴＜0

∴△＜0

∴直线y0y=2（x0+x）与抛物线y2=4x无公共点

故选D．

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题型：简答题

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简答题

求经过点P（-1，-6）与抛物线C：x2=4y只有一个公共点的直线l方程．

正确答案

解：①当斜率存在时，设直线l的方程为 y+6=k（x+1），

代入抛物线的方程可得：x2-4kx-4k+24=0，

根据判别式等于0，得16k2-4（-4k+24）=0，求得k=-3或k=2，

故方程为3x+y+9=0或2x-y-4=0；

②当斜率不存在时，直线方程为x=-1与抛物线C：x2=4y只有一个公共点．

故所求的直线方程为：x=-1，或3x+y+9=0或2x-y-4=0．

解析

解：①当斜率存在时，设直线l的方程为 y+6=k（x+1），

代入抛物线的方程可得：x2-4kx-4k+24=0，

根据判别式等于0，得16k2-4（-4k+24）=0，求得k=-3或k=2，

故方程为3x+y+9=0或2x-y-4=0；

②当斜率不存在时，直线方程为x=-1与抛物线C：x2=4y只有一个公共点．

故所求的直线方程为：x=-1，或3x+y+9=0或2x-y-4=0．

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题型：填空题

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填空题

直线y=x+k与抛物线y2=2x相交于点A、B，且OA⊥OB，则k=______．

正确答案

-2

解析

解：直线方程代入抛物线方程整理得：

x2+（2k-2）x+k2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则

=2k2+2k-2k2=2k

∵OA⊥OB

∴OA2+OB2=AB2

即

∴x1x2+y1y2=0

则k2+2k=0

∴k=-2（0舍去）

故答案为-2．

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题型：单选题

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单选题

已知直线l与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点，那么“直线l经过抛物线y2=4x的焦点”是“x1x2=1”的（　　）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分且必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

解：由于抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故过焦点的直线l可假设为y=k（x-1）

代入抛物线方程，整理得k2x2-（2k2+4）x+k2=0

∵A（x1，y1），B（x2，y2）

∴x1x2=1

当斜率不存在时，结论也成立

反之，若x1x2=1时，由方程k2x2-（2k2+4）x+k2=0知，直线l不一定经过抛物线y2=4x的焦点

故选A．

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题型：填空题

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填空题

若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：

①若C为椭圆，则1＜t＜4；

②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；

③曲线C不可能是圆；

④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则．

其中真命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上）．

正确答案

②④

解析

解：若C为椭圆应该满足即故①错

若C为双曲线应该满足（4-t）（t-1）＜0即t＞4或t＜1故②对

表示圆，故③错

若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4-t＞t-1＞0则，故④对

故答案为②④

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的方程为+=1．

（Ⅰ）求椭圆C的长轴长及离心率；

（Ⅱ）已知直线l过（1，0），与椭圆C交于A，B两点，M为椭圆C的左顶点．是否存在直线l使得∠AMB=60°？如果有，求出直线l的方程；如果没有，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由方程可知a=4，b=2

所以长轴长为8，且c2=a2-b2=12

所以离心率．

（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由消去y得：（4+k2）x2-2k2x+k2-16=0．

则，

=（x1+2）（x2+2）+k（x1-1）k（x2-1）

==

综上，恒成立，∠AMB为钝角

所以，不存在直线l使得∠AMB=60°

解析

解：（Ⅰ）由方程可知a=4，b=2

所以长轴长为8，且c2=a2-b2=12

所以离心率．

（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由消去y得：（4+k2）x2-2k2x+k2-16=0．

则，

=（x1+2）（x2+2）+k（x1-1）k（x2-1）

==

综上，恒成立，∠AMB为钝角

所以，不存在直线l使得∠AMB=60°

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题型：单选题

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单选题

若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（　　）

A

B84

C3

D21

正确答案

D

解析

解：由椭圆和双曲线定义

不妨设|PF1|＞|PF2|

则|PF1|+|PF2|=10

|PF1|-|PF2|=4

所以|PF1|=7

|PF2|=3

∴|pF1|•|pF2|=21

故选D．

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