热门试卷

解：（1）∵点M到，的距离之和是4，

∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，

其方程为．（4分）

（2）将，代入曲线C的方程，整理得．①（6分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），由方程①，得，．②（8分）

又．③（9分）

若以PQ为直径的圆过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，（10分）

将②、③代入上式，解得．（12分）

又因k的取值应满足△＞0，即4k2-1＞0（*），将代入（*）式知符合题意．（13分）

解：（Ⅰ）由椭圆条件得，解得，

∴C1：．

∵抛物线的焦点F与C1的一个焦点重合，

∴，解得p=4，

∴C2：x2=8y．

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在且过点F（0，2），设其方程为y=kx+2，

由消去y得，x2-8kx-16=0

令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=8k，x1•x2=-16，

由x2=8y得，，，

∴，

联立AQ、BQ的方程解得，，，

∴Q（4k，-2），由于点Q在椭圆的内部，∴，∴．

由消去y得，x2-kx-16=0，

令C（x3，y3）、D（x4，y4），则，，

∴，

Q点到直线CD的距离d==4，

∴△QCD的面积

令，考察函数，，

∵，

∴f（t）在上单调递增，

∴，∴，

即．

解：已知直线y=kx+1①与双曲线C：x2-y2=1②的左支只有一个公共点，即可得到交点的横坐标小于于0．

把方程①代入②，整理得方程（1-k2）X2-2kx-2=0③恰有一负根，

（1）当k=1时，方程③变为-2x-2=0，得x=-1，成立．

（2）当k=-1时，方程③变为2x-2=0，x=1，不成立舍去．

（3）当k≠±1时△=4k2+8（1-K2）=0，k=土

k=时x=-；

k=-时x=舍去．

综上k= k=1为所求．

故答案为k=或k=1．

解：作图如右图，设A（x1，y1），B（x2，y2）；

由y=x2与y=x+m联立消y可得，

x2-x-m=0，

则△=1+4m＞0，即m＞-；

由所截得的弦AB的长为可得，

|x1-x2|=，

又由韦达定理可得，

x1+x2=1，x1•x2=-m，

则（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1•x2

=1+4m=5，

解得，m=1．

解：（1）以O为圆心，CD所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，

若，即，动点A所在的曲线不存在；

若，即，动点A所在的曲线方程为；

若，即，动点A所在的曲线方程为．

（2）由（Ⅰ）知，要存在点A，使AC⊥AD，则以O为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点，

故，所以，a的取值范围是．

（3）当a=2时，其曲线方程为椭圆，由条件知A，B两点均在椭圆上，且AO⊥OB．

设A（x1，y1），B（x2，y2），OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为，

解方程组，得，，同理可求得，，

∴△AOB面积=，

令1+k2=t（t＞1），则 ，

令，所以，，即，

当OA与坐标轴重合时S=1，于是，△AOB面积的最大值和最小值分别为1与．