直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A，B，且与双曲线-y2=1有相同的焦点，圆T：x2+y2=4上有一动点P，P在x轴上方，M（1，0）为x轴上一点．直线PA交椭圆C于D点，联结DM，PB．

（1）若•=0，求△ADM的面积；

（2）若直线PB，DM的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围．

正确答案

解：作图如右图，

在双曲线-y2=1中，c2=2+1=3，

故b2=4-3=1，故椭圆C的方程为+y2=1，

（1）设点D（2cosa，sina），则=（2cosa+2，sina），=（1-2cosa，-sina），

由•=0可得（2cosa+2）（1-2cosa）-sin2a=0，

即（3cosa-1）（cosa+1）=0，

故由图可知，点D（，）；

则S△ADM=×3×=；

（2）由（1）知，k2=，

直线AD的方程为，

即y=，

又∵AD⊥PB，

∴k1=-=-，

则由k1=λk2可得，

λ==-•

=-

=2

=4-2，

∵，

∴-1＜cosa＜或＜cosa＜1，

∴＜1-cosa＜2或0＜1-cosa＜，

∴1＜2＜4或＞4，

∴0＜4-2＜3或4-2＜0．

即λ的取值范围为（-∞，0）∪（0，3）．

解析

解：作图如右图，

在双曲线-y2=1中，c2=2+1=3，

故b2=4-3=1，故椭圆C的方程为+y2=1，

（1）设点D（2cosa，sina），则=（2cosa+2，sina），=（1-2cosa，-sina），

由•=0可得（2cosa+2）（1-2cosa）-sin2a=0，

即（3cosa-1）（cosa+1）=0，

故由图可知，点D（，）；

则S△ADM=×3×=；

（2）由（1）知，k2=，

直线AD的方程为，

即y=，

又∵AD⊥PB，

∴k1=-=-，

则由k1=λk2可得，

λ==-•

=-

=2

=4-2，

∵，

∴-1＜cosa＜或＜cosa＜1，

∴＜1-cosa＜2或0＜1-cosa＜，

∴1＜2＜4或＞4，

∴0＜4-2＜3或4-2＜0．

即λ的取值范围为（-∞，0）∪（0，3）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．

正确答案

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴

∴

∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

∴b=

∴a2=4，b2=3

∴椭圆的方程为；

（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0

设B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，-y1），

∴x1+x2=，x1x2=

又直线AE的方程为y-y2=

令y=0，则x=x2-=x2-==1

∴直线AE过x轴上一定点Q（1，0）．

解析

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴

∴

∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

∴b=

∴a2=4，b2=3

∴椭圆的方程为；

（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0

设B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，-y1），

∴x1+x2=，x1x2=

又直线AE的方程为y-y2=

令y=0，则x=x2-=x2-==1

∴直线AE过x轴上一定点Q（1，0）．

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题型：填空题

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填空题

椭圆中过P（1，1）的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是______．

正确答案

x+2y-3=0

解析

解：直线与椭圆的两个交点坐标为（x1，y1）；（x2，y2）则

两式相减得

∵P（1，1）为中点

∴

∴直线的斜率为

∴此弦所在直线的方程是

即x+2y-3=0

故答案为x+2y-3=0

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题型：简答题

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简答题

如图，已知圆G：x2+y2-2x-y=0，经过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．

正确答案

（本题满分14分）

解：（Ⅰ）∵圆G：经过点F、B．

∴F（2，0），B（0，），∴c=2，．（2分）

∴a2=4+2=6．

故椭圆的方程为．（4分）

（Ⅱ）解法一：设直线l的方程为．

由消去y，得2x2-2mx+（m2-6）=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，，（6分）

∴．

∵，，

∴=（x1-2）（x2-2）+y1y2==．（10分）

∵点F在圆G的外部，∴，即，

解得m＜0或m＞3．------------（12分）

由△=4m2-8（m2-6）＞0，解得．

又，．

∴．（14分）

（Ⅱ）解法二：设直线l的方程为．

由消去y，得2x2-2mx+（m2-6）=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，，（6分）

则CD的中点为，

又，

所以圆G的半径长，

又右焦点F（2，0），∴，

因点F在圆G的外部，∴，，

整理得

解得m＜0或m＞3．（12分）

由△=4m2-8（m2-6）＞0，解得．

又，．∴．（14分）

解析

（本题满分14分）

解：（Ⅰ）∵圆G：经过点F、B．

∴F（2，0），B（0，），∴c=2，．（2分）

∴a2=4+2=6．

故椭圆的方程为．（4分）

（Ⅱ）解法一：设直线l的方程为．

由消去y，得2x2-2mx+（m2-6）=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，，（6分）

∴．

∵，，

∴=（x1-2）（x2-2）+y1y2==．（10分）

∵点F在圆G的外部，∴，即，

解得m＜0或m＞3．------------（12分）

由△=4m2-8（m2-6）＞0，解得．

又，．

∴．（14分）

（Ⅱ）解法二：设直线l的方程为．

由消去y，得2x2-2mx+（m2-6）=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，，（6分）

则CD的中点为，

又，

所以圆G的半径长，

又右焦点F（2，0），∴，

因点F在圆G的外部，∴，，

整理得

解得m＜0或m＞3．（12分）

由△=4m2-8（m2-6）＞0，解得．

又，．∴．（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．

正确答案

解：（1）直线AB 的方程为，即bx-ay-ab=0

由题意得=，①

∵②

a2=b2+c2③

解得

∴椭圆的方程为

（2）设PQ：x=ty+代入

并整理得

设P（x1，y1），Q（x2，y2）则

，

∴

=

当即t2=1时，

∴

又∴

∴

解析

解：（1）直线AB 的方程为，即bx-ay-ab=0

由题意得=，①

∵②

a2=b2+c2③

解得

∴椭圆的方程为

（2）设PQ：x=ty+代入

并整理得

设P（x1，y1），Q（x2，y2）则

，

∴

=

当即t2=1时，

∴

又∴

∴

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题型：简答题

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简答题

已知F1、F2是双曲线的两个焦点，若离心率等于的椭圆E与双曲线C的焦点相同．

（1）求椭圆E的方程；

（2）如果动点P（m，n）满足|PF1|+|PF2|=10，曲线M的方程为：．判断直线l：mx+ny=1与曲线M的公共点的个数，并说明理由；当直线l与曲线M相交时，求直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长的最大值．

正确答案

解：（1）∵F1、F2是双曲线的两个焦点，∴

不妨设F1（-4，0）、F2（4，0）．

∵椭圆E与双曲线C的焦点相同．

∴设椭圆E的方程为（a＞b＞0）

∵根据已知得，解得

∴椭圆E的方程为

（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．

理由是：

∵动点P（m，n）满足|PF1|+|PF2|=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，

∴，∴，0≤m2≤25

∵曲线M是圆心为（0，0），半径为的圆

圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离=

∴直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．

设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，在0≤m2≤25上递增

∴当m2=25，m=±5，n=0，即时，t最大为．

解析

解：（1）∵F1、F2是双曲线的两个焦点，∴

不妨设F1（-4，0）、F2（4，0）．

∵椭圆E与双曲线C的焦点相同．

∴设椭圆E的方程为（a＞b＞0）

∵根据已知得，解得

∴椭圆E的方程为

（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．

理由是：

∵动点P（m，n）满足|PF1|+|PF2|=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，

∴，∴，0≤m2≤25

∵曲线M是圆心为（0，0），半径为的圆

圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离=

∴直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．

设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，在0≤m2≤25上递增

∴当m2=25，m=±5，n=0，即时，t最大为．

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题型：简答题

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简答题

如图，A，B是焦点为F的抛物线y2=4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x=t（t＞0）上．

（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值；

（Ⅱ）求|AB|的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）y2=4x的焦点坐标是F（1，0），准线方程是x=-1

设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=x1+1，|BF|=x2+1

∴|FA|+|FB|=x1+x2+2

∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上

∴x1+x2+=2t，

∴|FA|+|FB|=2t+2；

（Ⅱ）∵|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”

∴|AB|的最大值是2t+2．

解析

解：（Ⅰ）y2=4x的焦点坐标是F（1，0），准线方程是x=-1

设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=x1+1，|BF|=x2+1

∴|FA|+|FB|=x1+x2+2

∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上

∴x1+x2+=2t，

∴|FA|+|FB|=2t+2；

（Ⅱ）∵|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”

∴|AB|的最大值是2t+2．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且B（-1，-3）．

（Ⅰ）求椭圆C和直线l的方程；

（Ⅱ）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与D有公共点，试求实数m的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）由离心率，得，即a2=3b2．①

又点B（-1，-3）在椭圆上，即．②

解①②得a2=12，b2=4，

故所求椭圆方程为．

由A（2，0），B（-1，-3）得直线l的方程为y=x-2．

（Ⅱ）曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0，

即圆（x-m）2+（y+2）2=8，其圆心坐标为G（m，-2），半径，

表示圆心在直线y=-2上，半径为的动圆．

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m＜0的情形．

设⊙G与直线l相切于点T，则由，得m=±4，

当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l‘的方程为x+y+6=0，

解方程组，得T（-2，-4）．

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，

所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，

即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得．

解析

解：（Ⅰ）由离心率，得，即a2=3b2．①

又点B（-1，-3）在椭圆上，即．②

解①②得a2=12，b2=4，

故所求椭圆方程为．

由A（2，0），B（-1，-3）得直线l的方程为y=x-2．

（Ⅱ）曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0，

即圆（x-m）2+（y+2）2=8，其圆心坐标为G（m，-2），半径，

表示圆心在直线y=-2上，半径为的动圆．

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m＜0的情形．

设⊙G与直线l相切于点T，则由，得m=±4，

当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l‘的方程为x+y+6=0，

解方程组，得T（-2，-4）．

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，

所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，

即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得．

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题型：单选题

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单选题

设直线l：y=3x-2与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且弦AB的中点M在直线x+y=0上，则椭圆的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：A（x1，y1），B（x2，y2），有KAB==3；

设AB的中点为M，其坐标为（m，n），则（x1+x2）=2m，（y1+y2）=2n；

又由弦AB的中点M在直线x+y=0上，即m+n=0，

A、B两点在椭圆上，

则=1，①

=1，②；

①-②可得，（y1+y2）（y1-y2）=-（x1+x2）（x1-x2）；

化简可得：=3；

则椭圆的离心率为e==；

故选A．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为．直线l与椭圆C交于P、Q两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围；

（Ⅲ）设点P关于x轴的对称点为P′（P′与Q不重合），当直线l过点（1，0）时，判断直线P′Q是否与x轴交于一定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，知解得a=2，b=1．

所以，椭圆C的方程为．…（4分）

（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率k存在且不为0．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0，m≠±1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

由消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．

所以，△=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，①

且．

因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，

所以，．

化简，得．代入①，解得0＜m2＜2．

因为点O到直线l的距离，且，

所以．

因为0＜m2＜2且m2≠1，所以0＜m2（2-m2）=-（m2-1）2+1＜1．

所以△OPQ面积的取值范围为（0，1）．…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当直线l过点（1，0）时，k+m=0．

由题意知P‘（x1，-y1），直线P'Q的方程为．

令y=0，得=．

由k+m=0，得．

即直线P'Q与x轴交于一定点（4，0）．…（13分）

解析

解：（Ⅰ）由题意，知解得a=2，b=1．

所以，椭圆C的方程为．…（4分）

（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率k存在且不为0．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0，m≠±1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

由消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．

所以，△=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，①

且．

因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，

所以，．

化简，得．代入①，解得0＜m2＜2．

因为点O到直线l的距离，且，

所以．

因为0＜m2＜2且m2≠1，所以0＜m2（2-m2）=-（m2-1）2+1＜1．

所以△OPQ面积的取值范围为（0，1）．…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当直线l过点（1，0）时，k+m=0．

由题意知P‘（x1，-y1），直线P'Q的方程为．

令y=0，得=．

由k+m=0，得．

即直线P'Q与x轴交于一定点（4，0）．…（13分）

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