直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

过点A（-4，0）向椭圆引两条切线，切点分别为B，C，且△ABC为正三角形．

（Ⅰ）求ab最大时椭圆的方程；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为F，过F的直线l与y轴交于点M，与椭圆的一个交点为Q，且，求直线l的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：（2分）

联立方程组消去y得3b2x2+a2（（x+4）2=3a2b2

即（a2+3b2）x2+8a2x+16a2-3a2b2=0有△=0，可得a2+3b2=16

因为a2+3b2=16，所以，即（4分）

所以当a2=3b2时，ab取最大值；求得

故椭圆的方程为（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设直线方程为：

设Q（x0，y0），则当时，有定比分点公式可得：（8分）

代入椭圆解得直线方程为（10分）

同理当时，无解

故直线方程为（12分）

解析

解：（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：（2分）

联立方程组消去y得3b2x2+a2（（x+4）2=3a2b2

即（a2+3b2）x2+8a2x+16a2-3a2b2=0有△=0，可得a2+3b2=16

因为a2+3b2=16，所以，即（4分）

所以当a2=3b2时，ab取最大值；求得

故椭圆的方程为（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设直线方程为：

设Q（x0，y0），则当时，有定比分点公式可得：（8分）

代入椭圆解得直线方程为（10分）

同理当时，无解

故直线方程为（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线C的顶在坐标原点，焦点F（0，c）（c＞0）到直线．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若直线y=kx+1（k≠0）与抛物线C交于A，B两点，设线段AB的中垂线与y轴交于点P（0，b），求b的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵焦点F（0，c）（c＞0）到直线，

∴，

∴c=

∴抛物线C的方程为x2=2y；

（Ⅱ）直线y=kx+1（k≠0）与抛物线C联立，消去y整理得x2-2kx-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2k，

∴线段AB的中点为Q（k，k2+1），

∴线段AB的垂直平分线方程为y-（k2+1）=-（x-k）

在上述方程中令x=0，得b=k2+2＞2．

∴b的取值范围是（2，+∞）．

解析

解：（Ⅰ）∵焦点F（0，c）（c＞0）到直线，

∴，

∴c=

∴抛物线C的方程为x2=2y；

（Ⅱ）直线y=kx+1（k≠0）与抛物线C联立，消去y整理得x2-2kx-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2k，

∴线段AB的中点为Q（k，k2+1），

∴线段AB的垂直平分线方程为y-（k2+1）=-（x-k）

在上述方程中令x=0，得b=k2+2＞2．

∴b的取值范围是（2，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

点A是椭圆+=1（a＞b＞0）短轴位于x轴下方的顶点，过A作斜率为1的直线交椭圆于P点，B点在y轴上且BP∥x轴，且•=9．

（1）若B（0，1），求椭圆的方程；

（2）若B（0，t），求t的取值范围．

正确答案

解：（1）直线AP的方程为y=x-b，联立，解得，∴P（b+1，1）．

∴=（0，1+b）•（b+1，b+1）=（1+b）2=9（b＞0），解得b=2．

∴P（3，1），代入椭圆的方程为，解得a2=12．

∴椭圆的方程为．

（2）由•=9，∴（0，t+b）•（t+b，t+b）=（t+b）2=9（t＞0，b＞0），∴t+b=3①．

把P（3，t）代入椭圆的方程可得，化为．

∵a2＞b2，∴，∴，②

由①可得b=3-t代入②可得，化为，解得．

∴t的取值范围是．

解析

解：（1）直线AP的方程为y=x-b，联立，解得，∴P（b+1，1）．

∴=（0，1+b）•（b+1，b+1）=（1+b）2=9（b＞0），解得b=2．

∴P（3，1），代入椭圆的方程为，解得a2=12．

∴椭圆的方程为．

（2）由•=9，∴（0，t+b）•（t+b，t+b）=（t+b）2=9（t＞0，b＞0），∴t+b=3①．

把P（3，t）代入椭圆的方程可得，化为．

∵a2＞b2，∴，∴，②

由①可得b=3-t代入②可得，化为，解得．

∴t的取值范围是．

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题型：填空题

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填空题

已知直线y=x-1与双曲线交于两点M，N 线段MN的中点横坐标为- 双曲线焦点c为，则双曲线方程为______．

正确答案

=1

解析

解：设双曲线=1，M，N （x1，y1）（x2，y2）

则y1=x1-1，y2=x2-1，两式相减求得y1-y2=x1-x2，

=1，=1

两式相减得：

=0

又因为x1+x2=-

y1+y2=x1+x2-2=-

∵y1-y2=x1-x2

所以=

∵c==

求得a=，b=

∴双曲线方程为=1

故答案为：=1

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题型：简答题

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简答题

直线y=mx+1与椭圆ax2+y2=2交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．

（1）若a=2，求点P的轨迹方程；

（2）若a，m满足a+2m2=1，求平行四边形OAPB的面积函数S（a）的值域．

正确答案

解：（1）直线y=mx+1过定点（0，1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则OP的中点M为，

且有2x12+y12=2，2x22+y22=2，

以上两式相减，得，

即kAB•kOP=-2，

∴，

∴2x2+y2-2y=0，

点P的轨迹方程为2x2+（y-1）2=1（除去原点）．

（2）由，

得（a+m2）x2+2mx-1=0，

∴，

又点O到AB的距离，

∴=．

∵a+2m2=1，

∴0＜a＜1，

∴S（a）的值域为（2，4）．

解析

解：（1）直线y=mx+1过定点（0，1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则OP的中点M为，

且有2x12+y12=2，2x22+y22=2，

以上两式相减，得，

即kAB•kOP=-2，

∴，

∴2x2+y2-2y=0，

点P的轨迹方程为2x2+（y-1）2=1（除去原点）．

（2）由，

得（a+m2）x2+2mx-1=0，

∴，

又点O到AB的距离，

∴=．

∵a+2m2=1，

∴0＜a＜1，

∴S（a）的值域为（2，4）．

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题型：简答题

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简答题

设F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，R，S，T为该抛物线上三点，若++=，且||+||+||=6．

（Ⅰ）求抛物线y2=2px的方程；

（Ⅱ）M点的坐标为（m，0）其中m＞0，过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，A，B两点的横坐标均不为m，连接AM、BM并延长交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k2．=4，求m的值．

正确答案

解：（Ⅰ）设R（xR，yR），S（xS，yS），T（xT，yT），则

∵++=，

∴xR+xS+xT=，

∴||+||+||=xR+xS+xT+=3p=6，

∴p=2，

∴抛物线的方程为y2=4x；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则

k1==，k2=，

∵=4，

∴y1+y2=（y3+y4）．

设AC所在直线方程为x=ty+m，代入抛物线方程，可得y2-4ty-4m=0，

∴y1y3=-4m，

同理y2y4=-4m，

∴y1+y2=（+），

∴y1y2=-m，

设AB所在直线方程为x=ty+1，代入抛物线方程，可得y2-4ty-4=0，

∴y1y2=-4，

∴m=4．

解析

解：（Ⅰ）设R（xR，yR），S（xS，yS），T（xT，yT），则

∵++=，

∴xR+xS+xT=，

∴||+||+||=xR+xS+xT+=3p=6，

∴p=2，

∴抛物线的方程为y2=4x；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则

k1==，k2=，

∵=4，

∴y1+y2=（y3+y4）．

设AC所在直线方程为x=ty+m，代入抛物线方程，可得y2-4ty-4m=0，

∴y1y3=-4m，

同理y2y4=-4m，

∴y1+y2=（+），

∴y1y2=-m，

设AB所在直线方程为x=ty+1，代入抛物线方程，可得y2-4ty-4=0，

∴y1y2=-4，

∴m=4．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点到右准线的距离为，且左焦点与短轴两端点构成正三角形．

（I）求椭圆的方程；

（II）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，交直线x=-4于点D，点C分所成比为λ，点D分所成比为μ，求λ+μ的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由条件得解得，

所以椭圆方程是．

（Ⅱ）易知直线l斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x+1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），D（-4，y0）

由得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0且△=48k2+16＞0

∵，∴（-1-x1，-y1）=λ（x2+1，y2）

∴

∵，∴（-4-x1，-y1）=μ（x2+4，y2-y0）

∴

∵

∴

解析

解：（Ⅰ）由条件得解得，

所以椭圆方程是．

（Ⅱ）易知直线l斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x+1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），D（-4，y0）

由得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0且△=48k2+16＞0

∵，∴（-1-x1，-y1）=λ（x2+1，y2）

∴

∵，∴（-4-x1，-y1）=μ（x2+4，y2-y0）

∴

∵

∴

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．

（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；

（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

正确答案

解：（1）由题意可知：直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0，

因为曲线C2的直角坐标方程为：．

∴曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．

（2）设P的坐标（），则点P到直线l的距离为：

=，

∴当sin（60°-θ）=-1时，点P（），

此时．

解析

解：（1）由题意可知：直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0，

因为曲线C2的直角坐标方程为：．

∴曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．

（2）设P的坐标（），则点P到直线l的距离为：

=，

∴当sin（60°-θ）=-1时，点P（），

此时．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线C以原点为顶点，焦点F在x轴上，其准线交x轴于点N，点M（1，m）在抛物线C上，且|MF|=2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）记抛物线的准线交x轴于点N，过点N直线l交抛物线于A、B两点，若△ABF的面积为，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由题意，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）

∵点M（1，m）在抛物线C上，且|MF|=2

∴

∴p=2

∴抛物线方程为 y2=4x．

（2）点N（-1，0），设直线l方程为x=ky-1

代入抛物线方程y2=4x，得y2-4ky+4=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∵△ABF的面积为

∴

∴16k2-16=48

∴k=±2

∴直线l的方程x=±2y-1．

经检验，符合题意．

解析

解：（1）由题意，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）

∵点M（1，m）在抛物线C上，且|MF|=2

∴

∴p=2

∴抛物线方程为 y2=4x．

（2）点N（-1，0），设直线l方程为x=ky-1

代入抛物线方程y2=4x，得y2-4ky+4=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∵△ABF的面积为

∴

∴16k2-16=48

∴k=±2

∴直线l的方程x=±2y-1．

经检验，符合题意．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与抛物线E：y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线在第一象限的交点P的横坐标为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：y=kx与抛物线E的交点为O，Q，与椭圆c的交点为M，N（N在线段OQ上），且|MO|=|NQ|．问满足条件的直线l有几条，说明理由．

正确答案

解：（1）∵抛物线E：y2=4x的焦点F（1，0），∴椭圆的焦点坐标为（±1，0）．

由点P在抛物线y2=4x上，所以P（，）．

又点P在椭圆C上，所以2a=4，所以a=2，

又c=1，故b==，从而椭圆C的方程为（5分）

（2）联立直线与椭圆方程得，消去y可得3x2+4k2x2=12，∴．（7分）

联立直线与抛物线得，消去y可得k2x2=4x，解得x=0或x= （9分）

∵|MO|=|NQ|，∴N为线段OQ的中点，∴=，

化简得3k4-4k2-3=0，解得k2=（负值舍去），故满足题意的k值有2个．

从而存在过原点O的两条直线l满足题意．（12分）

解析

解：（1）∵抛物线E：y2=4x的焦点F（1，0），∴椭圆的焦点坐标为（±1，0）．

由点P在抛物线y2=4x上，所以P（，）．

又点P在椭圆C上，所以2a=4，所以a=2，

又c=1，故b==，从而椭圆C的方程为（5分）

（2）联立直线与椭圆方程得，消去y可得3x2+4k2x2=12，∴．（7分）

联立直线与抛物线得，消去y可得k2x2=4x，解得x=0或x= （9分）

∵|MO|=|NQ|，∴N为线段OQ的中点，∴=，

化简得3k4-4k2-3=0，解得k2=（负值舍去），故满足题意的k值有2个．

从而存在过原点O的两条直线l满足题意．（12分）

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