热门试卷

解：（1）设正比例方程为y=kx（k≠0），联立

得到，

因此抛物线与正比例函数有两个交点．（2分）

（2），

所以过点P的切线斜率为，

所以过改点的法线斜率为，

从而相应的法线方程为，

因为抛物线关于x轴对称，

所以有其内切圆的圆心必在x轴上，令y=0得x=p+m，设内切圆的半径为R，

则R2=（p+m-m）2+（0-n）2=p2+n2=p2+2pm

从而抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）2+y2=p2+2pm（其中m为参数且m≥0）（6分）

（3）探究结论：抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为（k为参数且k≥0）（8分）

证明：设焦点弦AB所在直线方程为，与抛物线方成联立便可以得到，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则；；

设伴随圆圆心为（m，n），则，

设伴随圆半径为R

所以伴随圆系方程为（11分）

命题：抛物线y2=2px（p＞0）以焦点弦为直径的伴随圆的圆心轨迹为抛物线．（13分）

解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，

设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12

∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上，∴

∴p=2，

∴抛物线E的方程为x2=4y；

（2）由（1）知，，

设P（x0，y0），则x0≠0．l：即

由得，∴

取x0=2，此时P（2，1），Q（0，-1），以PQ为直径的圆为（x-1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，-1）

取x0=1，此时P（1，），Q（-，-1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M3（0，1）或M4（0，-）

故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下

∵

∴=2y0-2-2y0+2=0

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．

解：（Ⅰ）设C方程为

由已知b=2，离心率 …（3分）

得a=4，所以，椭圆C的方程为…（4分）

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3）．Q（2，-3），则|PQ|=6，

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，

得x2+tx+t2-12=0 由△＞0，解得-4＜t＜4，由根与系数的关系得，

四边形APBQ的面积…（6分）

故，当t=0时，…（7分）

②∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，

则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）与，

联立解得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0，x1+2=．…（9分）

同理PB的直线方程y-3=-k（x-2），可得x2+2=．

所以，…（11分）

==，

所以直线AB的斜率为定…（13分）

解：（Ⅰ）由y=x2，得，

∴抛物线的焦点坐标为，

由题意知m2=1，

又，

∴，

∴椭圆E的方程为；

（Ⅱ）设C（x0，y0），

由++=可知G为△ABC的重心，

则．

由||=||=||知M为△ABC的外心，

故设M（0，y1），

由||=||，得，

整理得：．

又，

∴．

∴y0=3y1，

则M（）．

∴kMG=0．

即直线MG的斜率是定值0．

解：（Ⅰ）如图，设点C的坐标为（x，y）（x≠0，y≠0），

则，

∵，

∴x•（-x）+y•4=0，即．

∴所求的轨迹T是除去顶点的抛物线（3分）

（Ⅱ）对函数求导得，．

设切点坐标为，则过该切点的切线的斜率是，

该切线方程是．

又设点P的坐标为（t，2t-5），

∵切线过点P，

∴有，

化简，得x02-2tx0+8t-20=0．（6分）

设A、B两点的坐标分别为、，

则x1、x2为方程x2-2tx+8t-20=0的两根，x1+x2=2t，x1x2=8t-20．

∴

因此，当t=0时，直线PM与y轴重合，当t≠0时，直线PM与y轴平行（9分）

（Ⅲ）∵=．

∴点M的坐标为．

又∵．

∴直线AB的方程为：，即t（x-4）+10-2y=0．（*）

∵当x=4，y=5时，方程（*）恒成立，

∴对任意实数t，直线AB恒过定点，定点坐标为（4，5）．（14分）

解：（Ⅰ）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），

∴，

∴a=2，b=1，

∴椭圆E的方程为…（4分）

（Ⅱ） 证明：①由直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A，得R=，

即 t2=R2（1+k2）…（5分）

又∵l与椭圆E只有一个公共点B，

由得（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，

∵直线与椭圆C只有一个公共点

∴△=（8kt）2-4（+4k2）（4t2-4）=0

∴t2=1+4k2②

由①②，得k2=…（8分）

②解：设B（x0，y0），由k2=得t2=  

由韦达定理，x02=

∵B（x0，y0）点在椭圆上，

∴y02=1-x02=

∴|OB|2=x02+y02=5-，…（10分）

在直角三角形OAB中，|AB|2=|OB|2-|OA|2=5-（），

∵≥4，当且仅当R=∈（1，2）时取等号，

∴|AB|2≤5-4=1，

∴AB的最大值为1．…（12分）

解：（I）①由题意可得，

当斜率不存在时，l1：x=c

故，

②当时，设l1：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）

由焦半径公式可得，

故，

，

故

故成立

当时，由题意成立

故对于∀α∈[0，π），总有．

（II）当斜率存在时，设l2：y=tx+b，C（x3，y3），D（x4，y4），

△＞0⇒2t2-b2+1＞0

故，

原点O到l2的距离为为定值

故E的轨迹方程为，

当斜率不存在时，解得或均在E上

综上可得，E的轨迹方程C2为，

C1通径所在的方程为x=±1

故两者相离．

解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，（2分）

∴a2-b2=1  ①（3分）

又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为，∴得上交点为，

∴  ②（4分）

由①代入②得2b4-b2-1=0，解得b2=1或（舍去），

从而a2=b2+1=2

∴该椭圆的方程为     （6分）

（Ⅱ）∵倾斜角为45°的直线l过点F，

∴直线l的方程为y=x-1，（7分）

由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F1（-1，0），设M（x0，y0）与F1关于直线l对称，（8分）

则得 （10分）  

解得，即M（1，-2）

又M（1，-2）满足y2=4x，故点M在抛物线上．   （11分）

所以抛物线y2=4x上存在一点M（1，-2），使得M与F1关于直线l对称．（12分）