- 圆的方程
- 共277题
已知圆C:的圆心为抛物线
的焦点,直线3x+4y+2=0与圆C相切,则该圆的方程为
正确答案
解析
略
知识点
已知平面上点其中
,当
,
变化时,则满足条件的点
在平面上所组成图形的面积是()。
正确答案
解析
略
知识点
已知椭圆经过点
,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆
交于
,
两点,若线段
的垂直平分线经过点
,求
(
为原点)面积的最大值.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形,∴
, ∴
, …………2分
又∵椭圆经过点,代入可得
,
∴故所求椭圆方程为 …………4分
(2)设因为
的垂直平分线通过点
, 显然直线
有斜率,
当直线的斜率为
时,则
的垂直平分线为
轴,此时
所以,因为
,所以
所以,当且仅当
时,
取得最大值为
, ……………7分
当直线的斜率不为
时,则设
的方程为
所以,代入得到
……………8分
当, 即
方程有两个不同的解又,
………………10分
所以,又
,化简得到
代入,得到
…………………11分
又原点到直线的距离为
所以
考虑到且
化简得到
…………………13分 因为
,所以当
时,即
时,
取得最大值
.
综上,面积的最大值为
. …………………14分
知识点
若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的
方程为
正确答案
解析
略
知识点
已知圆心在第一象限的圆C经过坐标原点O,与x轴的正半轴交于另一个点A,且∠OCA=120°,该圆截x轴所得弦长为2,则圆C的标准方程为 ▲ 。
正确答案
解析
略
知识点
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(1)求a、b的值,并写出切线l的方程;
(2)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)=3x2+4ax+b,
=2x-3.
由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,
故有f(2)=g(2)=0,=
=1.
由此得解得
所以a=-2,b=5,切线l的方程为x-y-2=0.
(2)由(1)得f(x)=x3-4x2+5x-2,
所以f(x)+g(x)=x3-3x2+2x.
依题意,方程x(x2-3x+2-m)=0有三个互不相同的实根0、x1、x2,
故x1、x2是方程x2-3x+2-m=0的两相异的实根。
所以Δ=9-4(2-m)>0,即m>-。
又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立。
特别地,取x=x1时,f(x1)+g(x1)-mx1<-m成立,得m<0.
由韦达定理,可得x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0,
故0<x1<x2.
对任意的x∈[x1,x2],有x-x2≤0,x-x1≥0,x>0,
则f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0,
又f(x1)+g(x1)-mx1=0,
所以函数f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]的最大值为0.
于是当-<m<0时,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立。
综上,m的取值范围是.
知识点
设为平面直角坐标系上的两点,其中
.令
,
,若
,且
,则称点
为点
的“相关点”,记作:
.
(1)请问:点的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程;若不在,说明理由;
(2)已知点,若点
满足
,求点
的坐标;
(3)已知为一个定点,点列
满足:
其中
,求
的最小值。
正确答案
见解析
解析
(1)因为为非零整数)
故或
,所以点
的“相关点”有8个………………1分又因为
,即
所以这些可能值对应的点在以为圆心,
为半径的圆上………………3分
(2)设,因为
所以有,
………………5分
所以,所以
或
所以
或
………………7分
(3)当时,
的最小值为0………………8分
当时,可知
的最小值为
………………9分
当时,对于点
,按照下面的方法选择“相关点”,可得
:
故的最小值为
………………11分
当时,对于点
,经过
次变换回到初始点
,然后经过3次变换回到
,故
的最小值为
综上,当时,
的最小值为
当时,
的最小值为0
当时,
的最小值为1 ………………13分
知识点
已知曲线的参数方程是
(
为参数,
),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
正确答案
解析
略
知识点
已知圆:
和圆
,直线
与圆
相切于点
;圆
的圆心在射线
上,圆
过原点,且被直线
截得的弦长为
。
(1)求直线的方程;
(2)求圆的方程。
正确答案
见解析。
解析
(1)(法一)∵点在圆
上,
∴直线的方程为
,即
。
(法二)当直线垂直
轴时,不符合题意。
当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,即
。
则圆心到直线
的距离
,即:
,解得
,
∴直线的方程为
。
(2)设圆:
,∵圆
过原点,∴
。
∴圆的方程为
。
∵圆被直线
截得的弦长为
,∴圆心
到直线
:
的距离:
。
整理得:,解得
或
。
∵,∴
。
∴圆:
。
知识点
以为圆心,且与直线
相切的圆的方程是
正确答案
解析
略
知识点
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