热门试卷

（1）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，

化简得，y2=2|x|+2x。

∴点M的轨迹C的方程为；

（2）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）。

依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）。

由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0。

①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得。

故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）。

②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）。

设直线l与x轴的交点为（x0，0），

则由y﹣1=k（x+2），取y=0得。

若，解得k＜﹣1或k＞。

即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，

故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点。

若或，解得k=﹣1或k=或。

即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点。

当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点。

故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点。

若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜。

即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点。

此时直线l与C恰有三个公共点。

综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；

当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；

当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点。

（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，

∴x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为 （0≤θ＜2π，θ为参数）。

（2）由，可得 ，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），

则线段P1P2的中点坐标为（，1），

再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0。

再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，

即 ρ=。

（1）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得 ①，或 ②。

解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1。

综上，原不等式的解集为[0，]。

（2）由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]。

∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]

=﹣≤，

故要证的不等式成立。