- 几何证明选讲
- 共124题
22.如图所示,为半径等于的圆的切线,为切点,交圆于两点,, 的角平分线与交于点.
(1)求证;
(2)求的值.
正确答案
(1)见解析;(2)
解析
试题分析:本题属于割线定理及角平分线的性质的问题,1)直接利用三角形相似对应边成比例在化为乘积式即可得到相应的证明;(2)利用角平分线的性质转化为已知线段的比值。
(1)证明:由已知可得,所以可以得到,所以有,即。
(2)由切割线定理可得PB=1,的角平分线与交于点,由角平分线的性质可得,由(1)即可解出。
考查方向
解题思路
本题考查割线定理及角平分线的性质的问题,解题步骤如下:(1)直接利用三角形相似对应边成比例在化为乘积式即可得到相应的证明;(2)利用角平分线的性质转化为已知线段的比值。
易错点
第2问不会转化要求的比值。
知识点
22.如图(8),圆O1与圆O2相交于A、B两点,AB是圆O2的直径,过A点作圆O1的切线交圆O2于点E,并与BO1的延长线交于点P,PB分别与圆O1、圆O2交于C,D两点.
(Ⅰ)求证:PA·PD=PE·PC;
(Ⅱ)求证:AD=AE.
正确答案
(1)见解析;(2)见解析
解析
试题分析:本题属于几何证明选讲中的证明问题,
(1)由切割线定理直接证明;(2)直接按照步骤来求。
(1) 分别是⊙O2的割线,
①
又分别是⊙O1的切线与割线,
②
由①,②得
(2)连接AC,DE, ⊙O1的直径,
由(1)知,
AB是⊙O2的直径,
考查方向
解题思路
本题考查几何证明选讲中的证明问题,解题步骤如下:
(1)由切割线定理直接证明;
(2)直接按照步骤来求。
易错点
图形看不懂,比较复杂。
知识点
22. 如图,在中,于,于,交于点,若.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求线段的长度.
正确答案
(1)见解析;(2)。
解析
试题分析:本题属于几何证明选讲的问题,
(1)由割线定理求解(2)由割线定理求解.
(Ⅰ)证明:由已知,所以在以为直径的圆上,由割线定理知:
(Ⅱ)解:如图,过点作于点,由已知,又因为,所以四点共圆,所以由割线定理知: ,① 同理四点共圆,由割线定理知:② ①+②得
即
所以
考查方向
解题思路
本题考查几何证明选讲的问题,解题步骤如下:
由割线定理求解。用割线定理来解决。
易错点
不会利用切割线定理来解答。
知识点
22.如图所示,为圆的切线,为切点,交圆于,两点,,,的角平分线与和圆分别交于点和.
(1)求证:;
(2)求的值.
正确答案
(1)见解析;(2)
解析
试题分析:本题属于几何证明选讲问题,(1)利用三角形相似来证明;(2)利用切割线定理然后利用三角形相似来解答。
试题解析:(Ⅰ)∵ 为圆的切线, 又为公共角,
∴ ,∴
(2)∵为圆的切线,是过点的割线, 又∵
又由(Ⅰ)知,
连接,则 ,
∴
考查方向
解题思路
本题考几何证明选讲问题,解题步骤如下:(1)利用三角形相似来证明;(2)利用切割线定理然后利用三角形相似来解答。
易错点
不会转化。
知识点
22.如图,在直角中,,为边上异于的一点,以为直径作,分别交于点.
(Ⅰ)证明:四点共圆;
(Ⅱ)若为中点,且,求的长.
正确答案
(Ⅰ)略
(Ⅱ)
解析
试题分析:本题是有关直线与圆的问题,难度不大。在解题中注意结合切线的性质和勾股定理等知识进行解决。
(Ⅰ)连结,则,
因为为直径,所以,
因为,所以,
所以,
所以四点共圆.
(Ⅱ)由已知为的切线,所以,故,
所以,
因为为中点,所以.
因为四点共圆,所以,
所以.
考查方向
解题思路
本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识。
解题步骤如下:利用四点共圆的判定定理,证明四点共圆;利用切线性质和勾股定理及第一问的结论,求出的长。
易错点
第二问计算中,不易想到利用第一问四点共圆的性质解决。
知识点
22.选修4-1:几何证明选讲
如图,点在圆上,、的延长线交于点,交于点,.
(1)证明:弧弧;
(2)若,求的长.
正确答案
(1)见解析;(2).
解析
试题分析:本题属于圆的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关圆的知识,即可解决本题,解析如下:
(Ⅰ)证明:∵
∴
∵
∴
∵,
∴,又
∴
∴
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又
∴
∴
又∵,,
∴.
考查方向
解题思路
(1)利用圆的割线的性质及角的关系即可得证;
(2)利用三角形司相似即可求DF的长.
易错点
相关定理不熟悉导致本题失分。
知识点
22.选修4-1:几何证明选讲
如图,已知:是以为直径的半圆上一点,⊥于点,直线与过点的切线相交于点[来,为中点,连接交于点,
(Ⅰ)求证:∠BCF=∠CAB ;
(Ⅱ)若FB=FE=1,求⊙O的半径.
正确答案
(1)略
(2)
解析
(Ⅰ)证明:因为AB是直径,
所以∠ACB=90°
又因为F是BD中点,所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB
因此∠BCF=∠CAB
(Ⅱ)解:直线CF交直线AB于点G,
由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC
可证得:与全等,所以 FA=FG,
且AB=BG
由切割线定理得:(1+FG)2=BG×AG=2BG2 ……①
在Rt△BGF中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2 ……②
由①、②得:FG2-2FG-3=0
解之得:FG1=3,FG2=-1(舍去)
所以AB=BG=
所以⊙O半径为.
考查方向
解题思路
第一问:由已知条件得FC=FB=FE得到∠BCF=∠CBF=∠CAB
第二问:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC,继而证得:与全等,得到FA=FG,由切割线定理得:(1+FG)2=BG×AG=2BG2 再由勾再由股定理得:BG2=FG2-BF2,,然后求出FG
易错点
1、第一问想到弦切角定理,进而向证明CF与圆相切,虽然可以证明,但是,但是过程稍烦一些。 2、第二问没有注意题中的已知条件,而运用导致无法计算
知识点
如图所示,圆的直径,为圆周上一点,,过作圆的切线,则点到直线的距离___________.
正确答案
解析
略
知识点
如图所示,AC和AB分别是
圆O的切线,B、C为切点,且OC=3,AB=4,延长AO到D
点,则△ABD的面积是_______ ____.
正确答案
解析
略
知识点
22.选修4-1:几何证明选讲
如图,是圆的直径,是弦,的平分线交圆于点,,交的延长线于点,交于点。
(Ⅰ)求证:是圆的切线;
(Ⅱ)若,求的值.
正确答案
见解析
解析
试题分析:本题属于平面几何中的基本问题,题目的难度是容易题。
(Ⅰ)连接,可得,∴
又,∴,又为半径,∴是圆的切线
(Ⅱ)过作于点,连接,则有,
设,则,∴
由可得,又由,
可得
考查方向
本题考查了平面几何的知识,主要涉及直线与圆的位置关系,三角形相似的考查.
解题思路
本题考查平面几何的知识,解题步骤如下:
(1)利用圆的相关定理证明。
(2)利用切割线定理和相交弦定理证明。
易错点
相关的定理容易混用。
知识点
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