几何证明选讲_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

22.如图所示，为半径等于的圆的切线，为切点,交圆于两点，，的角平分线与交于点．

(1)求证；

(2)求的值．

正确答案

（1）见解析；（2）

解析

试题分析：本题属于割线定理及角平分线的性质的问题，1）直接利用三角形相似对应边成比例在化为乘积式即可得到相应的证明；（2）利用角平分线的性质转化为已知线段的比值。

（1）证明：由已知可得,所以可以得到,所以有,即。

（2）由切割线定理可得PB=1，的角平分线与交于点，由角平分线的性质可得,由（1）即可解出。

考查方向

本题考查了几何证明选讲中的利用切割线定理及角平分线的性质的问题。

解题思路

本题考查割线定理及角平分线的性质的问题，解题步骤如下：（1）直接利用三角形相似对应边成比例在化为乘积式即可得到相应的证明；（2）利用角平分线的性质转化为已知线段的比值。

易错点

第2问不会转化要求的比值。

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

false

正确答案

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲．

如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．

28.求证：；

29.若，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略

解析

∵,∴∽,∴

又∵,∴, ∴,

∴∽， ∴， ∴

又∵，∴

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先证明,再证，可证得

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

PA=

解析

∵, ∴ ，∵ ∴由28题可知：，解得.

∴． ∵是⊙的切线，∴

∴，解得．得

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先综合题中条件及28题中结论，解出EP=,BP=,再由切割线定理，解得PA=

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，且，作直线与圆相切于点，连结交于点，已知圆的半径为，.

27.求的长；

28.求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）3；

解析

（Ⅰ）延长交圆于点，连结，则，

又，所以，

又，可知，所以.

根据切割线定理得，即.

考查方向

本题主要考查平面几何的知识，圆的切割线定理。

解题思路

1）第一问由切割线定理可得；

2）第二问将两条线段归到两个相似三角形中，用相似得到比例关系。

易错点

三角形相似容易找错，切割线定理用不熟练。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）过作于，则，从而有，

又由题意知，所以，

因此.

考查方向

本题主要考查平面几何的知识，圆的切割线定理。

解题思路

1）第一问由切割线定理可得；

2）第二问将两条线段归到两个相似三角形中，用相似得到比例关系。

易错点

三角形相似容易找错，切割线定理用不熟练。

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题型：填空题

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填空题 · 10 分

22.如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，OA为半径作圆.

(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；

(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.

正确答案

1

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22.选修4一 1:几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点垂直BE交圆于点D.（1）证明：DB = DC;（2）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求ABCF外接圆的半径.

23.选修4一4:坐标系与参数方程已经曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立及坐标系，曲线C2额极坐标方程为=2. （1）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程；（2）已知M，N分别为曲线C1的上，下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN的最大值.

24.选修4一 5 :不等式选讲已知函数f(x)= 的定义域为R.（1）求实数m的取值范围；（2）最大值为n，当正数a，b满足==n时，求7a+4b的最小值.

正确答案

22（1）连接DE交BC于点G,由弦切角定理得，

∠ABE=∠BCE, ∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,

故BE=CE,

又因为DB垂直BE,

所以DE为直径，则∠DCE=90度，

由勾股定理可得，DB=DC

(2)由（1）知，∠CDE=∠BDE,DB=DC,

故DG是BC的中垂线，

所以,设DE的中点为O,

连接BO,则∠BOG=60°，从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于

23(1)曲线C1的普通方程为，

曲线C2的普通方程为

（2）由曲线C1:,可得其参数方程为，

所以P点坐标为，

由题意可知,M,N

因此，

所以当=0的时候，有最大值，为。

24（1）因为函数定义域为R,所以恒成立

设函数，则m不大于函数的最小值

又得的最小值为4，

所以，

故m的取值范围为

（2）由1知m=4

所以

当且仅当即时，

7a+4b有最小值，为

解析

22无 23主要是消去参数。利用解析几何相关知识求解 24先求出函数的最小值，然后确定m的取值范围，第（2）问利用不等式的基本性质转换求解。

考查方向

22主要考查圆切线的性质，相似三角形的计算 23本题主要考查直角坐标和极坐标的相互转换，考察解析几何的简单应用 24本题主要考查不等式的性质与证明

解题思路

22利用线切角定理和勾股定理可证明第一问，第二问做出适当的辅助线即可求解 23消去参数方程中的参数即可，结合三角函数相关性质求得。24利用均值不等式、基本不等式相关性质计算

易错点

22相似度掌握不好计算能力弱 23直角坐标和极坐标不会转换 24对基本不等式掌握不牢

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．选修4-1:几何证明选讲

如图，圆M与圆N交于A， B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5， DB=10.

（I）求AB的长；

（II）求。

正确答案

（1）；

（2）．

解析

试题分析：本题属于平面几何问题，具体解析如下：

（Ⅰ）根据弦切角定理，

知，，

∴△∽△ ，则，

故．

（Ⅱ）根据切割线定理，知，，

两式相除，得（*）．

由△∽△，得，，

又，

由（*）得．

考查方向

本题考查了平面几何中圆幂定理的应用，大体可以分成以下几类：

1、圆与圆的位置关系；

2、弦切角定理的应用；

3、相似三角形的判定；

4、切割线定理的应用；

5、相似三角形的性质。

解题思路

本题考查平面几何内圆的相关知识，解题步骤如下：

1、根据弦切角定理判定三角形相似，进而得到AB的值；

2、根据切割线定理得到两边对应成比例，进而得出三角形相似；

3、根据三角形相似的性质，得到比例。

易错点

1、相似三角形的判定应用时条件不全；

2、切割线定理应用时两式相除这个技巧不容易想到；

3、运算出错。

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

22.选修4-1：几何证明选讲

如图，点在圆上，、的延长线交于点，交于点，.

（1）证明：弧弧；

（2）若，求的长.

正确答案

（1）见解析；（2）．

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：

（Ⅰ）证明：∵

∴

∵

∴

∵,

∴,又

∴

∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,又

∴

又∵，，

∴.

考查方向

本题考查了相交弦定理，三角形相似等知识点。

解题思路

（1）利用圆的割线的性质及角的关系即可得证；

（2）利用三角形司相似即可求DF的长．

易错点

相关定理不熟悉导致本题失分。

知识点

圆的切线的判定定理的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22.选修4－1：几何证明选讲

如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点。

（Ⅰ）求证：是圆的切线；

（Ⅱ）若，求的值．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，题目的难度是容易题。

（Ⅰ）连接，可得，∴

又，∴，又为半径，∴是圆的切线

（Ⅱ）过作于点，连接，则有，

设，则，∴

由可得，又由，

可得

考查方向

本题考查了平面几何的知识，主要涉及直线与圆的位置关系，三角形相似的考查．

解题思路

本题考查平面几何的知识，解题步骤如下：

（1）利用圆的相关定理证明。

（2）利用切割线定理和相交弦定理证明。

易错点

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。

22.如图AB是圆O直径，AC是圆O切线，BC交圆O与点E。

（1）若D为AC中点，证明：DE是圆O切线；

（2）若，求的大小。

23. 在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求的极坐标方程。

（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积。

24. 已知函数。

（1）当时求不等式的解集；

（2）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。

正确答案

22.

（1）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.

在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.

连结OE，则∠OBE=∠OEB

又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=，故∠OED=，DE是圆O的切线。

（2）设CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，，

所以，即.可得，所以∠ACB=。

23.（1）因为，所以的极坐标方程为，

的极坐标方程为.

（2）将代入，得，解得

.故，即

由于的半径为1，所以的面积为。

24.（1）当时，化为.

当时，不等式化为，无解；

当时，不等式化为，解得；

当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.

所以的解集为.

（2）由题设可得，

所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为

,△ABC的面积为.
由题设得＞6，故＞2.

所以的取值范围为.

解析

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知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

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