- 直线方程的综合应用
- 共376题
如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：
（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；
（2）证明：E G⊥D F．
正确答案
（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F（2，0）．…（1分）
设M（x，y），由题意知|MD|=2|MC|…（2分）
∴
两边平方化简得：即（x-4）2+（y-1）2=4…（5分）
即动点M的轨迹为圆心（4，1），半径为2的圆，
∴动点M的轨迹围成区域的面积为4π…（6分）
（2）证明：由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x-3y=0，…（7分）
由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y-2=0，…（8分）
由
又点E的坐标为（1，0），故kEG=2，kDF=-
所以kEG•kDF=-1，即证得：EG⊥DF …（13分）
已知直线l1：ax+3y-1=0与直线l2：2x+（a-1）y+1=0垂直，则实数a= ．
正确答案
∵直线l1：ax+3y-1=0与直线l2：2x+（a-1）y+1=0垂直，
∴斜率之积等于-1，他们的斜率分别为
∴
故答案为 
直线l在y轴上截距为2，且与直线l′：x+3y-2=0垂直，则l的方程是______．
正确答案
直线l′：x+3y-2=0的斜率等于-
再根据直线l在y轴上截距为2，
故l的方程为 y=3x+2，即3x-y+2=0，
故答案为3x-y+2=0．
已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：ax-y+3a=0．若l1⊥l2，则a=______．
正确答案
因为两条直线的斜率都存在，且l1⊥l2，
∴kl1•kl2=-1，
即（-a）•a=-1，
∴a=±1．
故答案为：±1
与直线4x-3y+1=0平行且距离为2的直线方程为______．
正确答案
设所求的直线方程为4x-3y+c=0，根据与直线4x-3y+1=0的距离为2得
故答案为4x-3y+11=0或4x-3y-9=0．
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