直线方程的综合应用
共376题

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直线方程的综合应用
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题型：填空题

填空题

设直线l1的方程为x+2y﹣2=0，将直线l1绕点（0，1）按逆时针方向旋转90°得到直线l2，则l2的方程是（）．

正确答案

2x﹣y+1=0

题型：填空题

填空题

经过点（2，﹣1），且与直线x+y﹣5=0垂直的直线方程是（）．

正确答案

x﹣y﹣3=0

题型：填空题

填空题

若直线l过点（1，1），且与直线l′：x+2y-3=0垂直，则直线l的方程为（）。

正确答案

y=2x-1

题型：简答题

简答题

设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，

（Ⅰ）证明a=b；

（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命题成立：设圆x2+y2=t2上任意点M（x0，y0）处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1⊥OQ2。

正确答案

解：（Ⅰ）由题设及，

不妨设点A（c，y），其中y＞0，

由于点A在椭圆上，有，，

解得，从而得到，

直线的方程为，整理得，

由题设，原点O到直线的距离为，

即，

将代入原式并化简得，即。

（Ⅱ）圆上的任意点处的切线方程为，

当t∈（0，b）时，圆上的任意点都在椭圆内，

故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点，

因此点的坐标是方程组的解，

当时，由①式得，

代入②式，得，

即，

于是，

，

若，则

，

所以，，

由，得，

在区间（0，b）内此方程的解为，

当时，必有，同理求得在区间（0，b）内的解为，

另一方面，当时，可推出，从而；

综上所述，使得所述命题成立．

题型：简答题

简答题

已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；

（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；

（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则，解得

则圆C的方程为x2+y2=r2，

将点P的坐标代入得r2=2，

故圆C的方程为x2+y2=2

（Ⅱ）设Q（x，y），则x2+y2=2，

=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，

令x=cosθ，y=sinθ，

∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，

∴（θ+）=2kπ﹣时，2sin（θ+）=﹣1，

所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．

（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，

故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），

由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0

因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，

故可得

同理，，

所以=kOP ，

所以，直线AB和OP一定平行

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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