热门试卷

解：（1）将直线l的方程代入双曲线C的方程后，整理得

 ①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得k的取值范围是。

（2）设A、B两点的坐标分别为、

则由①式得 ②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）

则由FA⊥FB得：，即

整理得 ③

把②式及代入③式化简得

解得或（舍去）

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。

（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F的距离与动点P到直线的距离相等，

由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为y=x2．

（Ⅱ）证明：设，

由，得，

所以，

设，则，

因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为，

由y=x2，可得y′=2x，所以当x=时，y′=k，

所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行．

（Ⅲ）解：由已知，k≠0，设直线l的垂线为l′：，

代入y=x2，可得， （*）

若存在两点关于直线l对称，则，

又在l上，

所以，

由方程（*）有两个不等实根，

所以，即，

所以，解得或。

（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：，

所以圆心M（0，4）到抛物线的距离是。

（Ⅱ）解：设，

由题意得，

设过点P的圆C2的切线方程为y-x02=k(x-x0)， ①

则，

即，

设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，

所以，，

将①代入y=x2得，

由于x0是此方程的根，故，

所以，

由MP⊥AB，得，

解得，即点P的坐标为，

所以直线l的方程为。