热门试卷

解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2

∵

∴，

∴所求椭圆C的方程为。

（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1）

∴

解得：

∴3x1-4y1=-5x0∵点P（x0，y0）在椭圆C：上

∴-2≤x0≤2，则-10≤-5x0≤10

∴3x1-4y1的取值范围为[-10，10]。

解：（1）由抛物线经过点O（0，0）A（m，0），

设抛物线方程y=kx（x﹣m），k≠0，

又抛物线过点P（m+1，m+1），

则m+1=k（m+1）（m+1﹣m），得k=1，

所以y=g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx．

（2）f（x）=（x﹣n）g（x）=x（x﹣m）（x﹣n）=x3﹣（m+n）x2+mnx，

f′（x）=3x2﹣2（m+n）x+mn，

函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，故f′（a）=0，f′（b）=0，

∵m＞n＞0，

∴f′（m）=3m2﹣2（m+n）m+mn=m2﹣mn=m（m﹣n）＞0

f′（n）=3n2﹣2（m+n）+mn=n2﹣mn=n（n﹣m）＜0

又b＜a，故b＜n＜a＜m．

（3）设切点Q（x0，y0），则切线的斜率k=f′（x0）=3x02﹣2（m+n）x0+mn

又y0=x03﹣（m+n）x02+mnx0，

所以切线的方程是 y=x03﹣（m+n）x02﹣mnx0=[3x02﹣2（m+n）x0+mn]（x﹣x0）

又切线过原点，故﹣x03﹣（m+n）x02﹣mnx0=﹣3x03﹣2（m+n）x02+mnx0，

所以2x03﹣（m+n）x02=0，解得x0=0，或x0= ．

两条切线的斜率为k1=f′（0）=mn，k2=f′（ ），

由m+n≤2 ，得（m+n）2≥8，

∴﹣ （m+n）2≥﹣2，

∴k2=f′（ ）= ﹣2（m+n）· +mn

=﹣ （m+n）2+mn≥mn﹣2

所以k1k2=（mn）2﹣2mn=（mn﹣1）2﹣1≥﹣1，

又两条切线垂直，故k1k2=﹣1，

所以上式等号成立，有m+n=2 ，且mn=1．

所以f（x）=x3﹣（m+n）x2+mnx=x3﹣2 x2+x．

解：（1）由 解得A（0，0），B（2p，2p）

∴ ，

∴p=2

（2）由（1）得x2=4y，A（0，0），B（4，4）

假设抛物线L上存在异于点A、B的点C ，

使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线令圆的圆心为N（a，b），

则由 

得 

得  

∵抛物线L在点C处的切线斜率 

又该切线与NC垂直，

∴  ∴ 

∵t≠0，t≠4，

∴t=﹣2 故存在点C且坐标为（﹣2，1）．

解：（Ⅰ）连接（O为坐标原点，为右焦点），

由题意知：椭圆的右焦点为，

因为FO是的中位线，且，

所以，

所以，

故，

在中，，

即，

又，

解得，

所求椭圆的方程为。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆G：，

设直线l的方程为y=k（x+2）并代入，

整理得：，

由得：，

设，

则由中点坐标公式得：，

①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆的两个顶点；

②当时，则，直线的方程为，

此时直线显然不能过椭圆的两个顶点；

若直线过椭圆的顶点，

则，即，

所以，解得：（舍去）；

若直线过椭圆的顶点，

则，即，

所以，解得：（舍去）；

综上，当或或时， 直线过椭圆的顶点。

（Ⅲ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为，

根据题意可设，则，

则直线的方程为，…①

过点P且与AP垂直的直线方程为，…②

①×②并整理得：，

又P在椭圆W上，

所以，所以，

即①、②两直线的交点B在椭圆W上，

所以PA⊥PB。