- 直线方程的综合应用
- 共376题
给出下列四个结论：
①命题''∃x∈R，x2-x＞0''的否定是''∀x∈R，x2-x≤0''
②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；
③已知直线l1：ax+2y-1=0，l1：x+by+2=0，则l1⊥l2的充要条件是
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f'（x）＞0，g'（x）＞0，则x＜0时，f'（x）＞g'（x）．
其中正确结论的序号是______（填上所有正确结论的序号）
正确答案
①命题“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”，此是一个正确命题；
②由于其逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故逆命题为真不正确；
③l1⊥l2时，a+2b=0，只有当b≠0时，结论成立，故不正确；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），由于两个函数是一奇一偶，且在x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，故当x＜0，，f′（x）＞g′（x），成立，此命题是真命题．
综上①④是正确命题
故答案为①④
已知函数f（x）=ax4+bx2+cx+1（a，b，c∈R），在x=-1处取得极值-
（1）求常数a，b，c的值；
（2）对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分界线，求函数f（x）与函数g（x）=-x2+2x+1的“分界线”方程．
正确答案
（1）f'（x）=4ax3+2bx+c，
由条件得到：
得到：
（2）依题意
令x=0，则1≥m≥1，所以m=1，（8分）
因此：kx+1≥-x2+2x+1恒成立，即x2+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，（10分）
又因为：f(x)-(2x+1)=
所以：函数f（x）与函数g（x）=-x2+2x+1的分界线方程是y=2x+1．（12分）
设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f'（x）的最小值为-12。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值。
正确答案
解：（1）∵
∴
即
∴
∵
∴
又直线
因此，
∴
（2）
∴
所以函数
∵
∴
已知曲线C：f（x）=3x2-1，C上的两点A，An的横坐标分别为2与an（n=1，2，3，…），a1=4，数列{xn}满足xn+1=
（I）建立xn与an的关系式；
（II）证明：{logt(xn-1)+1}是等比数列；
（III）当Dn+1⊈Dn对一切n∈N+恒成立时，求t的范围．
正确答案
（I）因为曲线在pn处的切线与AAn平行
∴6xn=
（Ⅱ）∵xn+1=
∴xn+1=
从而logt（xn+1-1）=1+2logt（xn-1）⇒logt（xn+1-1）+1=2[logt（xn-1）+1]
∴{logt（xn-1）+1}是一个公比为2的等比数列
（III）由（II）知：logt（xn-1）+1=（logt2+1）2n-1∴xn=1+
∴an+1＜an，∴(2t)2n＜(2t)2n-1
∴0＜2t＜1⇒0＜t＜
设有抛物线C：y=-x2+
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
正确答案
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1=kx1，①
y1=-x12+
①代入②得x12+(k-
∵P为切点，
∴Δ=(k-
当k=
当k=
∵P在第一象限，
∴所求的斜率k=
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y=-2x+5，③
将③代入抛物线方程得x2-
设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2=9，
∴x2=
∴Q点的坐标为(
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