- 直线方程的综合应用
- 共376题
已知函数f(x)=
（1）若函数f（x）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，求实数a的取值范围；
（2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．
正确答案
（1）∵f(x)=
∴f′（x）=x2+2ax-bx
∵f′（1）=1+2a-b=1即b=2a①
∵函数f（x）有极值
故方程x2+2ax-bx=0有两个不等实根
∴△=4a2+4b＞0即a2+b＞0②
由①②得a2+2a＞0解得a＜-2或a＞0
故a的取值范围为（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）∵y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数
∴f′（x）=x2+2ax-bx≤0在区间[-1，2]上恒成立
∴f′（-1）≤0且f′（2）≤0即
所以a+b的最小值为
若曲线y=x4+x在P点处的切线与直线3x+y=0平行，则P点的坐标是 ______．
正确答案
设切点P坐标为（m，n）
y'|x=m=（4x3+1）|x=m=4m3+1
∵曲线y=x4+x在P点处的切线与直线3x+y=0平行
∴4m3+1=-3解得：m=-1
切点P坐标为（-1，n）在曲线y=x4+x上，则n=0
故P点的坐标是（-1，0）
故答案为：（-1，0）
已知函数f（x）=x3-2x2+1
（Ⅰ）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）曲线f（x）上是否存在一点P，使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
正确答案
（Ⅰ）f′（x）=3x2-4x，由f′（x）=0得x1=0，x2=
当x在[-1，2]上变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表
由表格可知，函数f（x）在[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2．
（II）由（I）知：f′（x）=3x2-4x，
∴f/(x)∈[-
∵直线2x+y+3=0的斜率为-2，且-2∉[-
∴曲线上不存在点P，使得P处的切线平行于直线2x+y+3=0．
已知函数f(x)=
（I）求l的方程；
（II）求与l平行的切线的方程．
正确答案
（1）f′(x)=
∴f'（0）=-1，
直线l的方程为y=-x-1．
（2）由f′(x)=
又f（2）=5，
所以与l平行的切线的方程是y-5=-（x-2），
即y=-x+7．
若曲线y=
正确答案
因为曲线的某一切线与x轴平行，所以曲线切线的斜率k=y′=0，
即y′=3x+1=0，解得x=-
1
3
)2+（-
则切线方程为y+
故答案为：（-
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