热门试卷

解：（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，

∴对任意实数x，都有f（﹣x）=﹣f（x）．

∴﹣ax3﹣2bx2﹣cx+4d=﹣ax3+2bx2﹣cx﹣4d，即bx2﹣2d=0恒成立．

∴b=0，d=0，即f（x）=ax3+cx．

∴f′（x）=3ax2+c．

∵x=1时，f（x）取极小值﹣ ．

∴f ′（1）=0且f（1）=﹣ ，

即3a+c=0且a+c=﹣ ．

解得a= ，c=﹣1．

（2）当x∈[﹣1，1]时，图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直

证明：假设存在x1，x2，则f '（x1）f '（x2）=﹣1

所以（x12﹣1）（x22﹣1）=﹣1

因为x1，x2∈[﹣1，1]

所以x12﹣1，x22﹣1∈[﹣1，0]

因此（x12﹣1）（x22﹣1）≠﹣1

所以不存在．

（3）证明：∵f ′（x）=x2﹣1，由f ′（x）=0，得x=±1．

当x∈（﹣∞，﹣1）或（1，+∞）时，f ′（x）＞0；

当x∈（﹣1，1）时，f ′（x）＜0．

∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数，且fmax（x）=f（﹣1）= ，fmin（x）=f（1）=﹣ ．

∴在[﹣1，1]上，|f（x）|≤ ．

于是x1，x2∈[﹣1，1]时，|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|= + = ．

故x1，x2∈[﹣1，1]时，|f（x1）﹣f（x2）|≤ ．

解：（I）求导函数，可得 

∵x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，

 ∴f′（1）=0，f′（2）= 

∴ 

∴b=﹣ ，c= 

∴函数f（x）的解析式为 ；

（II） （x＞0）

①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即 

∴ 

②若0＜c＜1，则f极大（x）=f（c）=clnc+ ，f极小（x）=f（1）= 

∵b=﹣1﹣c，

∴f极大（x）=clnc ，f极小（x）= 

∴f（x）=0不可能有两解

③若c≥1，则f极小（x）=clnc ，f极大（x）= ，

∴f（x）=0只有一解

综上可知，实数c的取值范围为