函数恒成立问题
共47题

· 函数恒成立问题

函数恒成立问题
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题型：简答题

简答题 · 12 分

正确答案

ＬＵＥ

知识点

函数单调性的判断与证明函数恒成立问题导数的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

正确答案

略

知识点

函数单调性的判断与证明函数恒成立问题导数的运算

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数f(x)=ax2+b，其中a，b是实数．

20.若ab>0，且函数f[f(x)]的最小值为2，求b的取值范围；

21.求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f(x)+f(y)）≥f(x)f(y)）成

立．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

考查方向

函数的综合题，二次函数的性质和特征

已知函数的最值求参数的取值范围

解题思路

根据题意化简成二次函数，然后利用二次函数的性质求其最值

易错点

化简错误，分类讨论出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

考查方向

平均值不等式

不等式与函数的综合应用

解题思路

根据所给函数的性质，求出a、b之间的关系，然后化简等式，构造出平均值不等式的形式，最后求出满足的条件

易错点

化简错误，不能想到用平均值不等式求解

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，（为常数）.

25.当时，求函数的单调区间；

26.若对任意恒成立，求实数的取值范围；

27.若，，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，，，得.

由，解得，即在上单调递增；

由，解得，即在上单调递减.

∴综上，的单调递增区间为，单调递减区间为

解析

当时，，，得.

由，解得，即在上单调递增；

由，解得，即在上单调递减.

∴综上，的单调递增区间为，单调递减区间为

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数的单调区间问题，属于常规性问题。

解题思路

首先将代入解析式中，然后求出导函数，解不等式和即可求得单调区间。

易错点

本题容易因含有对数的超越不等式不会解而导致结果算不出来。

教师点评

本题属于常规性问题，在每一年的高考中都会考到，需要考生加强这一类问题的训练。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

已知，于是变形为，

从而，即，整理得.

令，则，即在上是减函数，

∴，令，则，

当时，，即此时单调递增；当时，，即此时单调递减，

而，∴，∴

解析

已知，于是变形为，

从而，即，整理得.

令，则，即在上是减函数，

∴，令，则，

当时，，即此时单调递增；当时，，即此时单调递减，

而，∴，∴

考查方向

本题主要考查了导数的应用，通过求最值来解决不等式恒成立的问题。

解题思路

首先将问题转化为求函数的最值的问题，然后在利用导数予以解决。

易错点

本题在对恒成立问题的分析中容易产生错误的理解而导致出错。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

由（1）知，当时，在上是增函数，

∵，∴，

即，同理，

，

又因为，当且仅当时，取等号，，，，

∴，∴，∴.

解析

由（1）知，当时，在上是增函数，

∵，∴，

即，同理，

，

又因为，当且仅当时，取等号，，，，

∴，∴，∴.

考查方向

本题考查了导数的应用以及不等式的证明。

解题思路

首先根据函数的单调性予以放缩，再利用放缩法予以证明。

易错点

本题容易因为放缩法掌握不清楚而导致出现错误。

教师点评

本题属于不等式的证明问题，难度较大，考生需要有足够的知识储备和应变能力。

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