直线、平面垂直的综合应用
共65题

· 直线、平面垂直的综合应用

直线、平面垂直的综合应用
共65题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

19.

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（I）证明MN∥平面PAB;

（II）求四面体N-BCM的体积.

正确答案

知识点

直线、平面垂直的综合应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

如图,已知平面ABC, AB=AC=3,,, 点E,F分别是BC, 的中点.

19.求证:EF∥平面 ;

20.求证:平面平面.

21.求直线与平面所成角的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

要证明EF∥平面, 只需证明EF||BA1 且EF 平面

证明:如图,连接,在△中,因为E和F分别是BC, 的中点,所以EF||BA1 ,又因为EF 平面, 所以EF∥平面.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查空间中线面位置关系的证明 ,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面关系与面面关系的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

要证明平面平面,可证明,.

因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,BB1||AA1所以平面ABC,从而,又 ,所以平面 ,又因为平面,所以平面平面.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查空间面面位置关系,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面垂直于面面垂直的转化.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

取中点N,连接 ,则就是直线与平面所成角,Rt△ 中,由得直线与平面所成角为.

取中点M和中点N,连接,NE因为N和E分别为,BC中点,所以NE||BB1 ,,故NE||AA1 ,,所以A1N||AE ,,又因为平面,所以平面 ,从而就是直线与平面所成角,在△中,可得AE=2,所以=2,因为BM||AA1，BM=AA1 ,所以A1M||AB,A1M=AB 又由,有 ,在Rt△ 中,可得,在Rt△中,因此,所以,直线与平面所成角为.

考查方向

本题主要考查空间中线面位置关系的证明,直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面角定义的灵活运用

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，，则的值是 .

正确答案

知识点

直线、平面垂直的综合应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，，则的值是 .

正确答案

知识点

直线、平面垂直的综合应用

题型：填空题

填空题 · 12 分

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=½AD。

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

正确答案

（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：

因为AD‖BC,BC=AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.

又AB 平面PAB,CM 平面PAB,

所以CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)

（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,

因为AD∥BC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA ⊥平面ABCD.

从而PA ⊥ BD.

因为AD∥BC,BC=AD，

所以BC∥MD,且BC=MD.

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.

又BD 平面PBD,

所以平面PAB⊥平面PBD.

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的综合应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

11.平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,，，则m，n所成角的正弦值为（）

正确答案

知识点

直线与直线平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 14 分

16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.

求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

正确答案

(1)为中点，为的中位线

又为棱柱，

，又平面，且

平面；

⑵ 为直棱柱，平面

，又

且，平面

平面，

又，平面

又平面，

又，，且平面

平面，又

平面平面．

知识点

平行关系的综合应用直线、平面垂直的综合应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.

19.证明：平面；

20.当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）略.

解析

试题分析：（Ⅰ）在图1中，因为，是的中点，，所以四边形是正方形，故，又在图2中，，从而平面，又且，所以，即可证得平面；

（Ⅰ）在图1中，因为，是的中点，所以，

即在图2中，

从而平面

又

所以平面.

考查方向

本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．

解题思路

在处理有关空间中的线面平行.线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化

易错点

线线关系与线面关系的转换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ） .

解析

试题分析：（Ⅱ）由已知，平面平面，且平面平面，又由（Ⅰ）知，，所以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得.

（Ⅱ）由已知，平面平面，

且平面平面

又由（Ⅰ）知，，所以平面，

即是四棱锥的高，

由图1可知，，平行四边形面积，

从而四棱锥的为

，

由，得.

考查方向

本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．

解题思路

2.求几何体的体积的方法主要有公式法.割补法.等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.

易错点

体积的计算

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是C1C上一点．

（1）当CF=2，求证：B1F⊥平面ADF；

（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．

正确答案

（1）见证明；（2）

解析

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．

∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．

∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．

在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=1，B1C1=CF=2，

∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．

∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，∴B1F⊥FD．

∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面ADF．

（2）解：∵AD⊥面B1DF，，

又，CD=1，

∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．

∴

∴．

考查方向

本题考查了线面垂直、椎体的体积公式等知识点。

解题思路

（1）利用相关定理进行证明；

（2）利用等体积法即可求解．

易错点

知识点

直线、平面垂直的综合应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．如图，在三棱柱中，已知，，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

正确答案

（1）略;

（2）；

【发呢之】12

解析

试题分析：本题第（1）问属于空间线面垂直关系的判定，是基础知识，难度中等；第（2）问是空间距离的问题，可以用等体积法进行解答。解答过程如下：

（Ⅰ）因为, 侧面，故,

在中,

由余弦定理得：

，

所以，故,所以,而

，平面

（Ⅱ）

考查方向

本题考查了空间点、线、面的位置关系，同时考查了空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1、第（1）问根据线面垂直的性质定理可证，在平面ABC中寻找两条与C1B垂直的直线即可；

2、第（2）问可以通过把求距离的问题转化为求高的问题，用等体积法进行解答。

易错点

在解决第二问时不能很好地对图形进行转化而导致失误。

知识点

直线、平面垂直的综合应用

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