热门试卷

证明：（1）连接，在直角梯形中，由，，得

由，得，即

又平面平面，从而平面

（2）在直角梯形中，由，得，

又平面平面，所以平面

做，与延长线交于，连接，则平面，所以是直线与平面所成的角

在中，由，得；

在中，由，得；

在中，由，得；

所以，直线与平面所成的角的正切值是

（1）连接OC. 由已知，所成的角

设AB的中点为D，连接PD、CD.

因为AB=BC=CA,所以CDAB.

因为等边三角形，

不妨设PA=2，则OD=1，OP=, AB=4.

所以CD=2，OC=.

在Rttan.

（2）过D作DE于E，连接CE.

由已知可得，CD平面PAB.

据三垂线定理可知，CE⊥PA，

所以，.

由（1）知，DE=

在Rt△CDE中，tan

故  

解法一：（1）

取中点，连结，则四边形为矩形，，连结，则，.

又,故,

所以为直角.

由,,,得平面,所以.

与两条相交直线、都垂直。

所以平面.

另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面.

（2）由平面知，平面平面.

作,垂足为,则平面ABCD,.

作,垂足为,则.

连结.则.

又,故平面,平面平面.……9分

作,为垂足,则平面.

,即到平面的距离为.

由于,所以平面,到平面的距离也为.

设与平面所成的角为,则,.

解法二：以为原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

设,则、.

又设,则.

（1）

,

由得

,

故.

由得,

又由得,

即,故.

于是,

.

故,又,

所以平面.

（2）设平面的法向量,

则.

又,

故

取得,又

.

故与平面所成的角为.

解法一：

（1）连结AB1与BA1交于点O，连结OD，

∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，

∴OD∥PB1，又OD面BDA1，PB1面BDA1，

∴PB1∥平面BDA1。

（2）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE，∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A，

∴BA⊥平面AA1C1C，由三垂线定理可知BE⊥DA1。

∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角。

在Rt△A1C1D中，，

又，∴。

在Rt△BAE中，，∴。

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为。

解法二：

如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则，，，，。

（1）在△PAA1中有，即。

∴，，。

设平面BA1D的一个法向量为，

则令，则。

∵，

∴PB1∥平面BA1D，

（2）由（1）知，平面BA1D的一个法向量。

又为平面AA1D的一个法向量，∴。

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为。