热门试卷

解：（1）证明：连结CD

∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱

∴平面

∴CD为C1D在平面ABC内的射影

∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点

∴

∴

∵

∴。

（2）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF

∵D、E分别为AB、BC的中点

∵

又

∴

∵AF为MF在平面ABC内的射影

∴

∴为二面角的平面角，

在Rt△MAF中，，

∴

作，垂足为G

∵

∴平面AMF

∴平面MDE⊥平面AMF

∴AG⊥平面MDE

在Rt△GAF中，，AF=

∴

即A到平面MDE的距离为

∵

∴CA∥平面MDE

∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为。

解：（Ⅰ）过E作EH∥BC交CC1于H，

则CH=BE=1，EH∥AD，且EH=AD，

又∵AF∥EC1，

∴∠FAD=∠C1EH，

∴Rt△ADF≌Rt△EHC1，

∴DF=C1H=2，

∴。

（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，

则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG，

过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，

由三垂线定理可知AG⊥C1M，

由于AG⊥面C1MC，且AG面AEC1F，

所以平面AEC1F⊥面C1MC，

在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，

则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离，

由可得，BG=1，

从而，

由知，

，

∴。

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），B（2，4，0），

，

设F（0，0，z），

∵为平行四边形，

∴由得，∴z=2，

∴F（0，0，2），

∴=（-2，-4，2），于是||=2，

即BF的长是2。

（Ⅱ）设为平面的法向量，

显然不垂直于平面ADF，

故可设=（x，y，1），

由，得，

即，∴，

又=（0，0，3），

设与的夹角为α ，

则，

∴C到平面的距离为。

解：（1）取BD中点M，连结MC，FM，

∵F为BD1中点，

∴FM∥D1D且FM=D1D

又EC=CC1，且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形

∴EF⊥CC1

又CM⊥面DBD1

∴EF⊥面DBD1

∵BD1面DBD1，

∴EF⊥BD1

故EF为BD1与CC1的公垂线。

（2）连结ED1，有

由（1）知EF⊥面DBD1，

设点D1到面BDE的距离为d，

则S△DBC·d=S△DBD·EF

∵AA1=2·AB=1

∴

∴

∴

故点D1到平面BDE的距离为。