- 空间中直线与直线之间的位置关系
- 共583题
关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若m∥n，m
③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；
④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．
其中正确的命题序号是（ ）。
正确答案
②
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）若G是线段AD的中点，则当PB与面ABCD所成角的正切值为何值时，GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
正确答案
解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．
设AD=a，则D（0，0，0）A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，
（Ⅰ）证明：∵
∴
（Ⅱ）当Q是AD中点时，有QF⊥面PBC．
取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．
又FK
∴QF⊥面PBC．
∴DK⊥PC，
∵K是PC的中点，所以PD=DC，
底面ABCD为正方形，所以DB=
如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。
（1）若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；
（2）用反证法证明：直线ME与BN 是两条异面直线。
正确答案
解：（1）取CD的中点G连结MG，NG
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG=2，
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，可
得MG⊥NG
所以
（2）假设直线ME与BN共面
则
由已知，两正方形不共面，故
又AB∥CD，
所以AB∥平面DCEF
而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB∥EN
又AB∥CD∥EF，
所以EN∥EF，这与
故假设不成立。
所以ME与BN不共面，它们是异面直线。
在空间，下列命题正确的是（ ）。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
①如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
② 如果两条直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β
③如果直线a与平面β内的一条直线b、c都有垂直，那么a⊥β
④ 如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ
正确答案
①④
如图，多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1．
（1）证明四边形ABED是正方形；
（2）判断点B，C，F，G是否四点共面，并说明为什么？
（3）连接CF，BG，BD，求证：CF⊥平面BDG．
正确答案
证明：（1）
同理AD∥BE，则四边形ABED是平行四边形．
又AD⊥DE，AD=DE，
∴四边形ABED是正方形
（2）取DG中点P，连接PA，PF．
在梯形EFGD中，FP∥DE且FP=DE．
又AB∥DE且AB=DE，
∴AB∥PF且AB=PF
∴四边形ABFP为平行四边形，
∴AP∥BF
在梯形ACGD中，AP∥CG，
∴BF∥CG，
∴B，C，F，G四点共面
（3）同（1）中证明方法知四边形BFGC为平行四边形．
且有AC∥DG、EF∥DG，从而AC∥EF，
∴EF⊥AD，BE∥AD
又BE=AD=2，EF=1
故
故四边形BFGC为菱形，CF⊥BG
又由AC∥EF且AC=EF知CF∥AE．
正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD．
扫码查看完整答案与解析