- 算法案例
- 共287题
编写程序，输入两个正整数，求它们的最小公倍数。
正确答案
解：程序如下：
甲、乙、丙三种溶液的质量分别为147g，343g，133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶中装入溶液的质量相同，问每瓶最多装多少？
正确答案
解：由题意，每个小瓶中装入的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，
先求147与343的最大公约数：343-147=196，196-147=49，147-49=98，98-49=49
所以147与343的最大公约数是49
再求49与133的最大公约数：133-49=84，84-49=35，49-35=14，35-14=21，21-14=7，14-7=7
所以147，343，133的最大公约数为7，即每瓶最多装7g。
123（8）=（ ）（16）。
正确答案
53
378 和90的最大公约数是（ ）。
正确答案
18
将十进制数56转化为二进制数（ ）．
正确答案
111000（2）
求三个数：1734，816，1343的最大公约数。
正确答案
解：用更相减损术求
（1734，816）→（918，816）→（102，816）→（102，714）→ （102，612）→（102，510）→（102，408）→（102，306）→（102， 204）→（102，102），
∴1734和816的最大公约数为102，再求102和1343的最大公约数，
（1343，102）→（1241，102）→（1139，102）→（1037 ，102）→ （935，102）→（833 ，102）→（731 ，102）→（629，102）→（527，102）→（425，102）→（323，102）→（221，102）→（119，102）→ （17，102）→（17，85）→（17，68）→（17，51）→（17，34）→ （17，17），
∴1343与102的最大公约数为17，即1734，816，1343的最大公约数为17。
将八进制数3726（8）化成十进制数。
正确答案
解：∵3726（8）=3×83+7×82+2×8+6=2006，
∴3726（8）=2006。
求三个数：168，54，264的最大公约数。
正确答案
解：运用更相减损术或辗转相除法，先求168和54的最大公约数a，再求a与264的最大公约数，
采用更相减损术先求168和54的最大公约数，
（168，54）→（114，54）→（60，54）→（6，54）→（6，48）→（6，42）→（6，36）→（6，30）→（6，24）→（6，18）→（6，12）→（6，6），
故168和54的最大公约数为6，
采用辗转相除法求6和264的最大公约数，
∵264=44×6+0，
∴6为264与6的最大公约数，也是这三个数的最大公约数。
七进制数中各个数位上的数字只能是（ ）中的一个。
正确答案
0，1，2，3，4，5，6
在数列{an}中，a1=1，a2=1，an+1=λan+an-1。
（1）若λ=-
（2）若λ=1，基于事实：如果d是a和b的公约数，那么d一定是a-b的约数。研讨是否存在正整数k和n，使得kan+2+an与kan+3+an+1有大于1的公约数？如果存在，求出k和n；如果不存在，请说明理由。
正确答案
解：（1）∵{bn}是公比的β的等比数列
∴
∴
即
又
∴
∴α、β是方程
∴
（2）假设存在正整数k，n使得
则d也是
即
依题设
∴d是
从而d是
同理可得d是
依次类推，d是ka4+a2与ka3+a1的约数
∵a1=1，a2=1，故a3=2，a4=3，
于是ka4+a2=3k+1，ka3+a1=2k+1
又∵（3k+1）-（2k+1）=k，
∴d是k的约数和2k+1的约数，
∴d是（2k+1）-k即k+1的约数，
从而d是（k+1）-k即1的约数，这与d>1矛盾
故不存在k，n使与有大于1的公约数。
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