圆的标准方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知圆C经过直线2x﹣y+2=0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y2=8x的焦点，则圆C的方程为　　。

正确答案

解析

抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），直线2x﹣y+2=0与坐标轴的两个交点坐标分别为A（﹣1，0），B（0，2），

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0。

将A、B、F三点的坐标代入圆的方程得：，

解得

于是所求圆的方程为x2+y2﹣x﹣y﹣2=0。

即，（12分）

故答案为：；

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知点P是圆F1：上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1交于M点。

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意得，

圆的半径为4，且

从而

∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,其中长轴,焦距，

则短半轴，

椭圆方程为:

（2）设，则。

∵，∴，∴

∴点在以为圆心，2为半径的的圆上，即点在以为直径的圆上。

又，∴直线的方程为。

令，得。

又，为的中点，∴。

∴，。

∴

。

∴，∴直线与圆相切.

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知圆.

（1）设点是圆C上一点，求的取值范围；

（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹的内接矩形的最大面积.

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为，即；……2分

由得，解得，…………………5分

从而所求的切线方程为，.…………………6分

（2）

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|。…………………………………8分又

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.…………………12分

且椭圆长轴长为焦距2c=2.

∴点N的轨迹是方程为………………14分

知识点

圆的标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，半径是的ΘO中，AB是直径，MN是过点A的圆O的切线，AC，BD相交于点P，且∠DAN=30°，CP×PA=12，又PD＞PB，则线段PD的长为　。

正确答案

4

解析

∵MN切圆O于A，∴∠B=∠DAN=30°，

∵AB是直径，可得∠ADB=90°，

∴AD=AB=，且BD=AD=7

又∵圆O中，PB×PD=CP×PA=12

∴设PD=x，可得x（7﹣x）=12，解之得x=3或4

∵PD＞PB，∴PD=4（﹣3舍去）

故答案为：4

知识点

圆的标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图所示，点是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点,若，则（）

A；

B；

C；

D；

正确答案

B

解析

略

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，F1为椭圆的左焦点且=1。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。

正确答案

见解析。

解析

（1）易知A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），

∴，∴a2﹣c2=b2=1，

又，∴，解得a2=4，

∴；

（2）设P（x0，y0），则Q（x0，2y0）（x0≠±2），

∴，所以直线AQ方程，

∴，则，

∴，

又点P的坐标满足椭圆方程，则，

所以，∴，

∴直线QN的方程：，

化简整理得到：，即x0x+2y0y=4，

所以点O到直线QN的距离，

故直线QN与AB为直径的圆O相切。

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知圆C与两圆，外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点的距离的最小值为，点与点的距离为.

（1）求圆C的圆心轨迹L的方程；

（2）求满足条件的点的轨迹Q的方程；

（3）试探究轨迹Q上是否存在点，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）两圆半径都为1，两圆心分别为、，由题意得，可知圆心C的轨迹是线段的垂直平分线，的中点为，直线的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段的垂直平分线方程为，即圆C的圆心轨迹L的方程为。

（2）因为，所以到直线的距离与到点的距离相等，故点的轨迹Q是以为准线，点为焦点，顶点在原点的抛物线，，即，所以，轨迹Q的方程是

（3）由（2）得，，所以过点B的切线的斜率为，切线方程为，令得，令得，

因为点B在上，所以

故，

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

设，即得，所以

当时，，当时，，

所以点B的坐标为或.

知识点

圆的标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

从圆外一点引圆的切线和割线，为切点，已知，圆半径为5，则圆心到直线的距离为。

正确答案

4

解析

由切割线定理：，可得，，则，圆心到的距离即圆心到弦的距离，根据弦心距公式得：

知识点

圆的标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知圆C的方程为，当圆心C到直线的距离最大时，的值为

A

B

C

D5

正确答案

A

解析

圆C的方程可化为，所以圆心C的坐标为，又直线恒过点，所以当圆心C到直线的距离最大时，直线CA应垂直于直线，因为直线CA的斜率为，所以，。

知识点

圆的标准方程

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题型：单选题

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单选题 · 4 分

在平面斜坐标系中,点的斜坐标定义为:“若(其中分别为与斜坐标系的轴,轴同方向的单位向量),则点的坐标为”.若且动点满足,则点在斜坐标系中的轨迹方程为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

略

知识点

圆的标准方程

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