幂函数的概念、解析式、定义域、值域
共682题

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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知△中，AB=AC, D是△外接圆劣弧○AC上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。

（1）求证：AD的延长线平分CDE；

（2）若BAC=，ABC中BC边上的高为2+，求△外接圆的面积。

正确答案

见解析。

解析

（1）如图，设F为AD延长线上一点

∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,

且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,

即AD的延长线平分∠CDE。

（2）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC，

连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,

∴∠OCH=600。

设圆半径为r,则，解得r=2,外接圆的面积为。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 16 分

已知函数

，（其中），设.

（1）当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极

值；

（2）当时，若存在，使成立，试求的范围.

正确答案

见解析。

解析

（1）∵,

∴

设是的两根，则，∴在定义域内至多有一解,

欲使在定义域内有极值，只需在内有解，且的值在根的左右两侧异号，∴得

综上：当时在定义域内有且仅有一个极值，

当时在定义域内无极值

（2）∵存在，使成立等价于的

最大值大于0

∵，∴,

∴得.

当时，得

当时，不成立

当时，得；

综上得：或

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题型：填空题

填空题 · 4 分

点O在内部且满足，则的面积与凹四边形. 的面积之比为________.

正确答案

5:4

解析

作图如下

作向量=2,

以、为邻边作平行四边形ODEF,根据

平行四边形法则可知：+=

即2+2＝

由已知2+2＝＝-，

所以＝-，

BC是中位线，则OE＝2OG=4OH,

则线段OA、OH的长度之比为4:1，

从而AH、OH的长度之比为5:1，

所以△ABC与△OBC都以BC为底，对应高之比为5:1，

所以△ABC与△OBC的面积比为5:1，

∴三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比是5:4

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，A、B是椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且△APB面积的最大值为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线AP与直线交于点D，证明：以BD为直径的圆与直线PF相切。

正确答案

见解析

解析

（1）由题意可设椭圆的方程为。

由题意知解得，

故椭圆的方程为，……………………4分

（2）由题意，设直线的方程为.

则点坐标为，中点的坐标为。

由得。

设点的坐标为，则。

所以，，…………………6分

因为点坐标为，

当时，点的坐标为，点的坐标为.

直线轴，此时以为直径的圆与直线相切，…8分

当时，则直线的斜率.

所以直线的方程为，

点到直线的距离，…………10分

又因为，所以，故以为直径的圆与直线相切。

综上得，以为直径的圆与直线相切，……………………12分

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题型：简答题

简答题 · 10 分

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为（为参数），点Q的极坐标为。

（1）化圆C的参数方程为极坐标方程；

（2）若直线过点Q且与圆C交于M，N两点，求当弦MN的长度为最小时，直线的直角坐标方程。

正确答案

见解析

解析

（1）圆C的直角坐标方程为，

又

∴圆C的极坐标方程为 …………………5分

（2）因为点Q的极坐标为，所以点Q的直角坐标为（2，-2）

则点Q在圆C内，所以当直线⊥CQ时，MN的长度最小

又圆心C（1，-1），∴，

直线的斜率

∴直线的方程为，即 ……………………10分

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