- 圆的切线方程
- 共533题
设相交两圆的交点为M和K，引两圆的公切线，切点分别是A、B，证明：∠AMB+∠AKB=180°．
正确答案
则△ACM∽△ACK，∴∠MAC=∠AKC，
同理∠MBC=∠BKC，
∵∠MAB+∠ABM+∠AMB=180°，
∴∠AKC+∠BKC+∠AMB=180°，
∵∠AKC+∠BKC=∠AKB，
∴∠AMB+∠AKB=180°．
解析
则△ACM∽△ACK，∴∠MAC=∠AKC，
同理∠MBC=∠BKC，
∵∠MAB+∠ABM+∠AMB=180°，
∴∠AKC+∠BKC+∠AMB=180°，
∵∠AKC+∠BKC=∠AKB，
∴∠AMB+∠AKB=180°．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
正确答案
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）
所以
解析
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）
所以
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若AB=2
正确答案
解析
解（1）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．
（2）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即（r+2
解得r=2
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=
正确答案
解析
解：∵BC⊥AP，∴BP2=BC2+CP2=32+42=25，∴BP=5．
又AC与BC都是⊙O的切线，∴AC=BC=3，
由切割线定理可得PA2=PB•PD，∴72=5×（5+DB），解得
∴弦DB的长为
故答案为
（Ⅰ）求证：PA与⊙O相切；
（Ⅱ）求S△ACB的值．
正确答案
∵⊙O的直径为15，∴OA=OB=7.5
又PA=10，PB=5，∴PO=12.5…（2分）
在△APO中，PO2=156.25，PA2+OA2=156.25
即PO2=PA2+OA2，∴PA⊥OA，
又点A在⊙O上
故PA与⊙O相切…（5分）
（Ⅱ）解：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB，
又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴
设AB=k，AC=2k，∵BC为⊙O的直径且BC=15，AB⊥AC
∴
∴
∴
解析
∵⊙O的直径为15，∴OA=OB=7.5
又PA=10，PB=5，∴PO=12.5…（2分）
在△APO中，PO2=156.25，PA2+OA2=156.25
即PO2=PA2+OA2，∴PA⊥OA，
又点A在⊙O上
故PA与⊙O相切…（5分）
（Ⅱ）解：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB，
又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴
设AB=k，AC=2k，∵BC为⊙O的直径且BC=15，AB⊥AC
∴
∴
∴
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