圆的切线方程
共533题

· 圆的切线方程

圆的切线方程
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题型：简答题

简答题

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD．

（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；

（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．

正确答案

（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，

所以AC∥BD．

又OA=OB，PC=PD，

所以OP∥BD，从而OP⊥l．

因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．

（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），

所以BD=2OP-AC=6，

过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD-AC=6-4=2，

在Rt△ABE中，AE==4，

∴CD=4．

解析

（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，

所以AC∥BD．

又OA=OB，PC=PD，

所以OP∥BD，从而OP⊥l．

因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．

（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），

所以BD=2OP-AC=6，

过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD-AC=6-4=2，

在Rt△ABE中，AE==4，

∴CD=4．

题型：简答题

简答题

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．求证：ED是⊙O的切线．

正确答案

证明：连接OD，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠EAD=∠BAD，

∴∠EAD=∠ADO，

∴OD∥AE，

∴∠AED+∠ODE=180°，

∵DE⊥AC，即∠AED=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

解析

证明：连接OD，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠EAD=∠BAD，

∴∠EAD=∠ADO，

∴OD∥AE，

∴∠AED+∠ODE=180°，

∵DE⊥AC，即∠AED=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

题型：单选题

单选题

如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E．已知BC=10，AD=4．那么直线CE与以点O为圆心，为半径的圆的位置关系是（　　）

A相离

B相交

C相切

D不确定

正确答案

解析

解：连接OD交CE于F，则OD⊥AD．

又BA⊥DA，

∴OD∥AB．

∵OB=OC，

∴CF=EF，

∴OD⊥CE，

则四边形AEFD是矩形，得EF=AD=4．

连接OE．

在直角三角形OEF中，根据勾股定理得OF==3＞，

即圆心O到CE的距离大于圆的半径，则直线和圆相离．

故选A．

题型：填空题

填空题

如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=6，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，若sin∠OCD=，则直径AB=______．

正确答案

解析

解：连接OD，则OD⊥CD．

∵∠ABC=90°，∴CD、CB为⊙O的两条切线．

∴根据切线长定理得：CD=BC=6．

在Rt△OCD中，sin∠OCD=，

∴tan∠OCD=，OD=tan∠OCD×CD=8．

∴AB=2OD=16．

故答案为16．

题型：填空题

填空题

如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF=6，PD=2，则∠DFP=______°．

正确答案

解析

解：连接OD，则OD垂直于切线，

根据切割线定理可得PD2=PE•PF，

∴PE=2，

∴圆的直径是4，

在直角三角形POD中，

OD=2，PO=4，

∴∠P=30°，

∴∠DEF=60°，

∴∠DFP=30°，

故答案为：30°

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