热门试卷

证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．

∴∠EAB+∠EBA=90°．

∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．

∴∠FEB=∠EAB．

∴∠CEB=∠EAB．

（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，

又∠CEB=∠FEB，EB公用．

∴△CEB≌△FEB．

∴CB=FB．

同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．

在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．

∴EF2=AD•CB．

（1）证明：连接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∵∠CDB=∠OBD，

∴CD∥AB，

又∵AC∥BD，

∴四边形ABDC为平行四边形，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，∴△OEB≌△CED（AAS），∴S阴影=S扇形BOC．

∴S阴影==6π．

答：阴影部分的面积是6π．

证明：连结OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP．

又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．

又OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，

所以∠OBT=∠TBA，

即BT平分∠OBA．

证明：（Ⅰ）连接OD，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD

∵∠BAC的平分线是AD

∴∠OAD=∠DAC

∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（3分）

又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD

∵OD是⊙O的半径

∴DE是⊙O的切线．…（5分）

（Ⅱ）连接BC、DB，过D作DH⊥AB于H，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

Rt△ABC中，

∵OD∥AE，∴∠DOH=∠CAB，

∴．

∵Rt△HOD中，，

∴，设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，

∴Rt△HOD中，DH==4x，AH=AO+OH=8x，

Rt△HAD中，AD2=AH2+DH2=80x2…（8分）

∵∠BAD=∠DAE，∠AED=∠ADB=90°

∴△ADE∽△ADB，可得，

∴AD2=AE•AB=AE•10x，而AD2=80x2

∴AE=8x

又∵OD∥AE，

∴△AEF∽△ODF，可得…（10分）