圆的切线方程
共533题

· 圆的切线方程

圆的切线方程
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题型：简答题

简答题

已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）

（I）求圆C的方程；

（II）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）2+（y-7cosθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求，的最大值和最小值．

正确答案

（I）解法一：设A，B两点坐标分别为(，y1)，(，y2)，

由题设知==

解得y12=y22=12，

所以A(6，2)，B(6，-2)或A(6，-2)，B(6，2)．

设圆心C的坐标为（r，0），则r=×6=4，

所以圆C的方程为（x-4）2+y2=16．

解法二：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知x12+y12=x22+y22

又因为y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即（x1-x2）（x1+x2+2）=0

由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上

设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为(r，r)，于是有(

r)2=2×r，

解得r=4，

所以圆C的方程为（x-4）2+y2=16．

（II）设∠ECF=2α，则•=||•||•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．

在Rt△PCE中，cosα==，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，

所以≤cosα≤，由此可得-8≤•≤-．

则•的最大值为-，最小值为-8．

题型：简答题

简答题

已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切并与椭圆+y2=1交于不同的两点A、B．

（1）设b=f（k），求f（k）的表达式；

（2）若•=，求直线l的方程；

（3）若•=m(≤m≤)，求三角形OAB面积的取值范围．

正确答案

（1）∵y=kx+b（b＞0）与圆x2+y2=1相切，

∴=1，即b2=k2+1（k≠0），

∴b=…（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，消去y得：（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0

又△=8k2＞0（∵k≠0），所以x1+x2=-，x1x2=．…（6分）

则•=x1x2+y1y2=．

由•=，所以k2=1．

∴b2=2．∵b＞0，∴b=，

∴l：y=x+，y=-x+．…（9分）

（3）由（2）知：=m．

∵≤m≤，∴≤≤，∴≤k2≤1，

由弦长公式得|AB|=•，所以S=|AB|=，

设2k2+1=t，∴2≤t≤3，S=

∴≤S≤．…（14分）

题型：填空题

填空题

若直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=1相切，则ab的最小值是______．

正确答案

由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，

∵直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=1相切，

∴圆心到直线的距离d=r，即=1，即ab=，

又≥，当且仅当a=b时取等号，

∴ab≥，即（ab）2≥2ab，

变形得：ab（ab-2）≥0，又a＞0，b＞0，

可化为：，

解得：ab≥2，

则ab的最小值为2．

故答案为：2

题型：填空题

填空题

已知圆C：（x-2）2+（y-1）2=2，过原点的直线l与圆C相切，则所有过原点的切线的斜率之和为______．

正确答案

设直线方程为y=kx，即kx-y=0

圆心到直线的距离为d==

∴2k2-4k-1=0

∴所有过原点的切线的斜率之和为2

故答案为2．

题型：填空题

填空题

过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是______．

正确答案

根据题意画出相应的图形，如图所示：

直线PA和PB为过点P的两条切线，且∠APB=60°，

设P的坐标为（a，b），连接OP，OA，OB，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，

∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，

又圆x2+y2=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，

∴OA=OB=1，

∴OP=2AO=2BO=2，∴=2，即a2+b2=4①，

又P在直线x+y-2=0上，∴a+b-2=0，即a+b=2②，

联立①②解得：a=b=，

则P的坐标为（，）．

故答案为：（，）

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