- 圆的切线方程
- 共533题
已知圆C：x2+y2=9，直线l：x-2y=0，则与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程为______．
正确答案
由圆C：x2+y2=9，得到圆心C（0，0），半径r=3，
∵直线l：x-2y=0的斜率为
∴与直线l垂直的直线方程的斜率为-2，
设与直线l垂直的直线方程为y=-2x+b，
又此直线与圆C相切，
∴圆心（0，0）到直线y=-2x+b的距离d=
解得：b=±3
则所求直线的方程为：y=-2x±3
故答案为：y=-2x±3
已知圆C1的圆心在直线l1：x-y=0上，且圆C1与直线x=1-2
（1）求圆C1的方程；
（2）判断直线l2与圆C1的位置关系；
（3）已知半径为2
正确答案
（1）∵圆C1与直线x=1-2
∴圆心C1在直线y=1上，…（1分）
又圆心C1在直线x-y=0上，
∴圆心C1为直线y=1和直线x-y=0的交点，即点（1，1）．…（2分）
∵圆C1与直线x=1-2
∴圆C1的半径等于点（1，1）到直线x=1-2
即圆C1的半径为|1-(1-2
∴圆C1的方程为（x-1）2+（y-1）2=8…（5分）
（2）∵圆心C1到直线l2的距离为d=
∴直线l2与圆C1相离．…（8分）
（3）由已知，可设圆C2的方程为（x-a）2+（y-b）2=8，
∵圆C2经过点（1，1），
∴（1-a）2+（1-b）2=8，即（a-1）2+（b-1）2=8，
∴圆C2的圆心C2（a，b）在圆C1上．…（10分）
设直线l2：x+y-8=0与圆C2的交点分别为M，N，MN的中点为P，
由圆的性质可得：|MN|2=4(8-|C2P|2)，
所以求直线l2被圆C2截得弦长MN的最大值即求C2P的最小值．…（12分）
又因为C1到直线l2的距离为d=3
所以C2P的最小值为d-|C1C2|=3
所以(|MN|2)max=4[8-(
2
)2]=24，
即MNmax=2
故直线l2被圆C2截得弦长的最大值为2
已知圆C的圆心在直线y=4上，且过点A（4，8），B（8，4）．
（1）求圆的方程；
（2）过P（8，-2）作圆的切线，求切线方程．
正确答案
（1）由题意设圆心坐标为（a，4），则
∵圆C过点A（4，8）和B（8，4），
∴（a-4）2+（8-4）2=（a-8）2+（4-4）2，
∴a=4，∴（a-8）2+（4-4）2=16
∴圆C的标准方程为：（x-4）2+（y-4）2=16
（2）设所求切线的向量为k，则由点斜式可得
y+2=k（x-8），即kx-y-8k-2=0，
故圆心（4，4）到直线的距离等于半径4，
即
即切线方程为：5x+12y-16=0，
又直线无斜率时，直线方程为x=8符合题意
故所求切线的方程为：5x+12y-16=0，或x=8
过圆C：x2+y2+4x-2y+4=0外一点P（-1，2）的切线l的方程是______，若切点分别为A，B，则直线AB的方程是______．
正确答案
圆C：x2+y2+4x-2y+4=0，化为标准方程为（x+2）2+（y-1）2=1
∴∴圆心C（-2，1），半径为1
∵P（-1，2）
∴过圆C：x2+y2+4x-2y+4=0外一点P（-1，2）的切线l的方程是y=2或x=-1；
∵x=-1时，y=1；y=2时，x=-2，即A（-1，1），B（-2，2）
∴直线AB的方程为y-1=-（x+1），即x+y=0
故答案为：y=2或x=-1；x+y=0．
已知圆C经过点A（1，3），B（5，1），且圆心C在直线x-y+1=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l经过点（0，3），且l与圆C相切，求直线l的方程．
正确答案
（1）因为圆心C在直线x-y+1=0上，所以设圆C的圆心C（a，a+1），半径为r（r＞0），
所以圆的方程为（x-a）2+（y-a-1）2=r2．
因为圆C经过点A（1，3），B（5，1），
所以，
解得：
所以，圆C的方程为（x-5）2+（y-6）2=25；
（2）由题意设直线l的方程为y=kx+3，或x=0
当l的方程为x=0时，验证知l与圆C相切．
当l的方程为y=kx+3，即kx-y+3=0时，
圆心C到直线l的距离为d=
所以，l的方程为y=-
所以，直线l的方程为x=0，或8x+15y-45=0．
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