热门试卷

①⊙C可化为：（x-1）2+（y-1）2=1

圆心C（1，1），r=1（3分）

由题意，直线l的方程可设为+=1

即 bx+ay-ab=0

∵直线与圆相切∴=1

整理得（a-2）（b-2）=2（a＞2，b＞2）（8分）

②设线段AB的中点M（x，y）

则

将a=2x，b=2y代入得：(x-1)(y-1)= (x＞1， y＞1)（12分）

（1）∵直线l1过点A（3，0），且与圆C：x2+y2=1相切，

设直线l1的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，

则圆心O（0，0）到直线l1的距离为d==1，解得k=±，

∴直线l1的方程为y=±（x-3），即y=±（x-3）．

（2）对于圆方程x2+y2=1，令y=0，得x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．

又直线l2过点a且与x轴垂直，∴直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为y=（x+1）．

解方程组，得P′(3，)同理可得，Q′(3，)

∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为（x-3）（x-3）+（y-）（y-）=0，

又s2+t2=1，∴整理得(x2+y2-6x+1)+y=0，

若圆C′经过定点，只需令y=0，从而有x2-6x+1=0，解得x=3±2，

∴圆C′总经过定点坐标为（3±2，0）．

（3）以EF为直径的圆C过定点，它的逆命题：设圆O与x轴交于P、Q两点，M是圆O上异于P、Q的任意一点，

过点M（m，0）且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，

直线QM交直线l2于点Q′，以P′Q′为直径的圆C总过定点，则m＞1或者m＜-1．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则过P、Q的切线方程分别是

x1x+y1y=1，x2x+y2y=1．

又M（m，n）在这两条切线上，有mx1+ny1=1，mx2+ny2=1，

∵P、Q两点的坐标满足方程mx+ny=1，又两点确定唯一一条直线，

∴PQ所在直线的方程是mx+ny=1．

又∵E为直线OM与PQ之交点，解方程组⇒x=，y=．

将（，）代入中点E的轨迹方程得x2+y2+x-=0．

这就是要求的过P、Q两点的切线交点M的轨迹方程．