- 圆的切线方程
- 共533题
设a、b、c都是整数，过圆x2+y2=（3a+1）2外一点P（b3-b，c3-c）向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（所谓格点是指：横、纵坐标都是整数的点）．
正确答案
∵P（b3-b，c3-c），O（0，0），
∴线段OP的中点的坐标为（
∴以OP为直径的圆的方程为：[x-
将x2+y2=（3a+1）2代入（1）得：（b3-b）x+（c3-c）y=（3a+1）2，它就是过两切点的直线方程，
假设此切线方程存在格点，
由b3-b=b（b-1）（b+1），得到它为三个连续数的乘积，显然能被3整除，
同理，c3-c亦能被3整除，
∴（3a+1）2能被3整除，
∴3a+1也必须能被3整除，
显然这是不可能的，
则过这两切点的直线上的任意一点都不是格点．
圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的外有一点P（x0，y0），由点P向圆引切线的长 ______
正确答案
把圆的方程化为标准式方程得(x+
D
2
)2+(y+
E
2
)2=
所以圆心坐标为（-
而P到圆心的距离d2=(x0+
D
2
) 2+(y0+
E
2
) 2，
则点P向圆引切线的长=
故答案为：
若直线ax+y+1=0与圆（x-1）2+（y+2）2=2相切，则实数a=______．
正确答案
由圆（x-1）2+（y+2）2=2，得到圆心坐标为（1，-2），半径r=
∵直线ax+y+1=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d=r，即
整理得：a2+2a+1=0，即（a+1）2=0，
解得：a=-1，
故答案为：-1
求由点P（5，3）向圆 x2+y2-2x+6y+9=0所引的切线长．
正确答案
由x2+y2-2x+6y+9=0
知圆心坐标A（1，-3），
半径r=1
又∵P（5，3）
∴是|PA|=
又∵半径与切线垂直，
设由点P（5，3）向圆所引的切线长为d
则d=
∴由点P向圆所引的切线长为
已知圆x2+y2=1，经过点P（-1，2）作圆的切线，则其切线方程为______．
正确答案
圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径r=1．
当直线l经过点P（-1，2）与x轴垂直时，方程为x=-1，
∵圆心到直线x=-1的距离等于半径，∴直线l与圆相切，符合题意；
当直线l经过点P（-1，2）与x轴不垂直时，设方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0．
∵直线l与圆x2+y2=1相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d=
因此直线l的方程为y-2=-
综上所述，可得所求切线方程为x=-1或3x+4y-5=0．
故答案为：x=-1或3x+4y-5=0
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