热门试卷

解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．

根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．

根据三角形内角和定理，∠ACE=90°-2α．

由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°-α．（5分）

再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．（7分）

根据对顶角定理，∠AFD=45°．

由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．（10分）

证明：（Ⅰ）连接OC，如下图所示：

因为OA=OC，

所以∠OCA=∠OAC

又因为AD⊥CE，

所以∠ACD+∠CAD=90°，

又因为AC平分∠BAD，

所以∠OCA=∠CAD，

所以∠OCA+∠CAD=90°，

即OC⊥CE，

所以CE是⊙O的切线

（Ⅱ）连接BC，

因为AB是⊙O的直径，

所以∠BCA=∠ADC=90°，

因为CE是⊙O的切线，

所以∠B=∠ACD，

所以△ABC∽△ACD，

所以，

即AC2=AB•AD．

解：（I）连接OF，∵OC=OF，

∵∠OFC=∠OCF，

∵DF是⊙O的切线，

∴OF⊥DF，

又∵OC垂直于弦AB，

∴∠AEC=∠DFE，

∴∠DEF=∠DFE，

∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，

∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA

（II）设AE=x，

则DE=2x，DF=2x，

∵DF2=DB•DA，

∴（2x）2=3x（2x-1），

解得2x=3，

∴DF的长为3．