直线的倾斜角与斜率
共186题

· 直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率
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题型：填空题

填空题 · 5 分

9.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为　　　　。

正确答案

解析

如图，

∵S△AOB=|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB≤，

当∠AOB=时，S△AOB面积最大，

此时点O到AB的距离d=.

设AB的方程为y=k(x－)(k<0)，即kx－y－k=0，

由d==，得k=－.

知识点

直线的倾斜角与斜率直线与圆相交的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

7.经过点P(0，-1)作直线l，若直线l与连接A(1，-2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为　　　　和　　　　。

正确答案

[-1，1]；[0，]∪[，π)

解析

如图所示，结合图形，

为使直线l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0

故当k<0时，倾斜角α为钝角

当k=0时，α=0，当k>0时，α为锐角.

又kPA==-1，

kPB==1，

∴-1≤k≤1，即直线l的斜率k的取值范围为[-1，1].

又当0≤k≤1时，0≤α≤，

当-1≤k<0时，≤α<π，

∴直线l的倾斜角α的取值范围为[0，]∪[，π).

知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：单选题

单选题 · 5 分

4．函数f（x）＝x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率是

B－1

正确答案

解析

f’(x)=cosx-xsinx,得k=f’（0）=1。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查导数的几何意义

解题思路

直接求导，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在求导数时发生错误。

知识点

导数的几何意义直线的倾斜角与斜率

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2一1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．

(i)求k1k2的值：

(ii)求OB2+ OC2的值．

正确答案

（I）所求椭圆方程为；

(Ⅱ) (i)k1k2；

(ii)OB2+ OC2=7

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难类型，主要在于计算，具体解析如下：

（Ⅰ）设椭圆的右焦点，则

由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，

∴圆心到直线的距离

（*）

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，

∴,，代入（*）式得，，

故所求椭圆方程为

（Ⅱ）（i）设，则，

于是

（ii）方法一由（i）知，，故．

所以，

即，所以，．

又，故．

所以，OB2+OC2 ．

方法二由（i）知，．将直线方程代入椭圆中，

得．同理，．

所以，．

下同方法一

考查方向

本题考查了圆锥曲线中的有关问题，大体可以分成以下几类：

1、椭圆标准方程的求法；

2、点到直线距离公式的应用；

3、直线、圆及圆锥曲线的交汇问题；

4、运算能力的考察。

解题思路

本题考查圆锥曲线的综合问题，难度稍微有些大，问题最大的在于计算，解题步骤如下：

1、根据条件，利用点到直线的距离公式得出基本量a,b,c的关系，进而写出椭圆方程；

2、直接利用斜率的表达式计算出k1k2；

3、此时方法不唯一，可以利用方程间的未知数的关系直接求出各个量的值，进而求出OB2+ OC2=7；也可以把直线方程代入椭圆方程表示出，，进而求出OB2+ OC2=7。

易错点

1、题目分析得到基本量a,b,c的关系时出错；

2、k1k2的表达式写错；

3、直线方程代入椭圆方程后，计算OB2+ OC2出错。

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y00 +2，则的取值范围是（）

A[一，0）

B（一，0）

C（一，+∞）

D（一∞，一）（0,+∞)

正确答案

解析

因为PQ的中点为M，可以得出点M的轨迹就是x+3y+2=0与直线x+3y+6=0间的平行直线x+3y+2=0；又因为y00 +2，可知点(x0，y0)满足在直线x-y+2=0的右下部分。

由求出点M（-2,0）

则，而直线x+3y+6=0的斜率为

所以的取值范围是（一∞，一）（0,+∞)

A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查了两条平行线间的距离，两条直线的交点坐标，直线斜率的求法等知识,在近几年的各省高考题出现的频率较高，经常和线性规划，不等式等知识结合出题。

解题思路

1、首先由直线x+3y+2=0与直线x+3y+6=0是平行线，得出PQ的中点M(x0，y0)满足的直线方程；

2、根据y0<x0 +2求出对应的射线范围，即进一步限定点M的范围；

3、结合的几何意义求出它的范围。

A选项不正确， B选项不正确， C选项不正确，D选项正确。

易错点

1、本题不容易想到点M的轨迹就是与直线x+3y-2=0和x+3y+6=0等距离的直线。

2、本题在求解出直线与x+3y+2=0与直线x-y+2=0的交点后，求解斜率的范围时候容易出错。

3、端点处的讨论容易考虑不全。

知识点

直线的倾斜角与斜率

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