- 数列与函数的综合
- 共73题
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
已知数列的前项和为,且满足 (),,设,。
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若≥,,求实数的最小值;
(3)当时,给出一个新数列,其中,设这个新数列的前项和为,
若可以写成 (且)的形式,则称为“指数型和”,问中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1),,,当时,
=2,所以为等比数列。 ,。
(2) 由(1)可得
; , ,
所以,且,所以的最小值为
(3)由(1)当时,
当时,,,
所以对正整数都有。
由,,(且),只能是不小于3的奇数。
①当为偶数时,,
因为和都是大于1的正整数,
所以存在正整数,使得,,
,,所以且,
相应的,即有,为“指数型和”;
②当为奇数时,,由于是个奇数之和,
仍为奇数,又为正偶数,所以 不成立,此时没有“指数型和”。
知识点
在无穷数列中,,对于任意,都有,. 设, 记使得成立的的最大值为.
(1)设数列为1,3,5,7,,写出,,的值;
(2)若为等差数列,求出所有可能的数列;
(3)设,,求的值.(用表示)
正确答案
见解析
解析
(1)解:,,. ……………… 3分
(2)解:由题意,得,
结合条件,得.……………… 4分
又因为使得成立的的最大值为,使得成立的的最大值为,
所以,. ……………… 5分
设,则.
假设,即,
则当时,;当时,.
所以,.
因为为等差数列,
所以公差,
所以,其中.
这与矛盾,
所以. ……………… 6分
又因为,
所以,
由为等差数列,得,其中. …………… 7分
因为使得成立的的最大值为,
所以,
由,得.……………… 8分
(3)解:设,
因为,
所以,且,
所以数列中等于1的项有个,即个; ………… 9分
设,
则, 且,
所以数列中等于2的项有个,即个; ………… 10分
……
以此类推,数列中等于的项有个. …………… 11分
所以
.
即.…… 13分
知识点
请阅读下列材料:若两个正实数a1,a2满足,那么.
证明:构造函数,因为对一切实数x,恒有,所以 ,从而得,所以.
根据上述证明方法,若n个正实数满足时,你能得到的结论为 .(不必证明)
正确答案
解析
略
知识点
已知. 若数列是一个单调递增数列,则的最大值是() .
正确答案
6
解析
略
知识点
已知数列满足则的最小值为__________.
正确答案
解析
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以
设,令,则在上是单调递增,在上是递减的,因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。
又因为,,所以,的最小值为
知识点
设函数,;,.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,求函数的最大值;
(3)设,且,,证明:.
正确答案
见解析。
解析
(1)显然的定义域为,,
令,
ⅰ)当时:在区间上,恒成立,故的增区间为;
ⅱ)当时:在区间上,恒成立,故的减区间为;
在区间上,恒成立,故的增区间为.
(2)ⅰ)时,,所以;
ⅱ)时,易知,
于是:,,
由(1)可知, 下证,
即证明不等式在上恒成立。
(法一)由上可知:不等式在上恒成立,
若,则,
故,
即当时,,从而,
故当时,恒成立,即.
(法二)令,,则,列表如下:
由表可知:当时,,
即恒成立,即.
由于,且,
故函数区间内必存在零点。
又当时,,
于是指数函数为增函数为增函数,
同理当时,,
于是指数函数为减函数也为增函数,
于是,当时, 必为增函数,
从而函数在区间内必存在唯一零点,不妨记为,则,
易知当时,,此时单调递减;
当时,,此时单调递增,
又易知,故;
综上,当时, 在上的最大值为.
(3)证法一:令, 显然有:,,
则不等式.
注意到:,且,,即,且,
于是,,
故,
从而,即,又,
故原不等式成立,证毕.
证法二:同上可将不等式化为:,
即,令,则等价于证明:当时,有成立,
又,
故,
于是,即得证,
又,故原不等式成立,证毕。
知识点
已知集合是正整数的一个排列,函数
对于,定义:,,称为的满意指数,排列为排列的生成列;排列为排列的母列。
(1)当时,写出排列的生成列及排列的母列;
(2)证明:若和为中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(3)对于中的排列,定义变换:将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列,证明:一定可以经过有限次变换将排列变换为各项满意指数均为非负数的排列。
正确答案
见解析
解析
(1)解:当时,排列的生成列为; ………………2分
排列的母列为。 ………………3分
(2)证明:设的生成列是;的生成列是与。
从右往左数,设排列与第一个不同的项为与,即:,,,,。
显然 ,,,,下面证明:。 ………………5分
由满意指数的定义知,的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数。
由于排列的前项各不相同,设这项中有项比小,则有项比大,从而。
同理,设排列中有项比小,则有项比大,从而。
因为 与是个不同数的两个不同排列,且,
所以 , 从而 。
所以排列和的生成列也不同。 ………………8分
(3)证明:设排列的生成列为,且为中从左至右第一个满意指数为负数的项,所以 。 ………………9分
进行一次变换后,排列变换为,设该排列的生成列为。
所以
。 ………………11分
因此,经过一次变换后,整个排列的各项满意指数之和将至少增加。
因为的满意指数,其中,
所以,整个排列的各项满意指数之和不超过,
即整个排列的各项满意指数之和为有限数,
所以经过有限次变换后,一定会使各项的满意指数均为非负数。 ………………13分
知识点
设是定义在上不为零的函数,对任意,都有,若,则数列的前项和的取值范围是() .
正确答案
解析
略
知识点
函数,等比数列中,,
正确答案
解析
因为
知识点
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