热门试卷

解析：

（1），，，当时，

=2，所以为等比数列。 ，。

（2） 由（1）可得 

；   ，    ，

所以，且，所以的最小值为

（3）由（1）当时，

当时，，，

所以对正整数都有。

由，，(且)，只能是不小于3的奇数。

①当为偶数时，，

因为和都是大于1的正整数，

所以存在正整数，使得，，

,，所以且，

相应的，即有，为“指数型和”；

②当为奇数时，，由于是个奇数之和，

仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和”。

（1）解：，，.  ……………… 3分

（2）解：由题意，得，

结合条件，得.……………… 4分

又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，

所以，.   ……………… 5分

设，则.

假设，即，

则当时，；当时，.

所以，.

因为为等差数列，

所以公差，

所以，其中.

这与矛盾，

所以.    ……………… 6分

又因为，

所以，

由为等差数列，得，其中.  …………… 7分

因为使得成立的的最大值为，

所以，

由，得.……………… 8分

（3）解：设，

因为，

所以，且，

所以数列中等于1的项有个，即个；  ………… 9分

设，

则， 且，

所以数列中等于2的项有个，即个；  ………… 10分

……

以此类推，数列中等于的项有个.  …………… 11分

所以

.

即.…… 13分

（1）显然的定义域为，，

令，

ⅰ）当时：在区间上，恒成立，故的增区间为；

ⅱ）当时：在区间上，恒成立，故的减区间为；

在区间上，恒成立，故的增区间为.

（2）ⅰ）时，，所以；

ⅱ）时，易知，

于是：，，

由（1）可知， 下证，

即证明不等式在上恒成立。

（法一）由上可知：不等式在上恒成立，

若，则，

故，

即当时，，从而，

故当时，恒成立，即.

（法二）令，，则，列表如下：

由表可知：当时，，

即恒成立，即.

由于，且，

故函数区间内必存在零点。

又当时，，

于是指数函数为增函数为增函数，

同理当时，，

于是指数函数为减函数也为增函数，

于是，当时， 必为增函数，

从而函数在区间内必存在唯一零点，不妨记为，则，

易知当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

又易知，故；

综上，当时， 在上的最大值为.

（3）证法一：令， 显然有：，，

则不等式.

注意到：，且，，即，且，

于是，，

故，

从而，即，又，

故原不等式成立，证毕.

证法二：同上可将不等式化为：,

即，令，则等价于证明：当时，有成立，

又，

故，

于是，即得证，

又，故原不等式成立，证毕。

（1）解：当时，排列的生成列为；         ………………2分

排列的母列为。                          ………………3分

（2）证明：设的生成列是；的生成列是与。

从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，，，，。

显然 ，，，，下面证明：。     ………………5分

由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数。

由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而。

同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而。

因为 与是个不同数的两个不同排列，且，

所以 ， 从而 。

所以排列和的生成列也不同。                ………………8分

（3）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 。              ………………9分

进行一次变换后，排列变换为，设该排列的生成列为。

所以

。                                                   ………………11分

因此，经过一次变换后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加。

因为的满意指数，其中，

所以，整个排列的各项满意指数之和不超过，

即整个排列的各项满意指数之和为有限数，

所以经过有限次变换后，一定会使各项的满意指数均为非负数。      ………………13分