点的极坐标和直角坐标的互化
共16题

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点的极坐标和直角坐标的互化
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题型：简答题

简答题 · 10 分

已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）。

（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（2）设曲线与直线相交于、两点，以为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积。

正确答案

（1）

（2）S=

解析

（1）对于：由，得，进而；

对于：由（为参数），得，即.(5分)

（2）由（1）可知为圆，且圆心为，半径为2，则弦心距，弦长，因此以为边的圆的内接矩形面积. (10分)

知识点

直线与圆相交的性质点的极坐标和直角坐标的互化参数方程化成普通方程

题型：简答题

简答题 · 10 分

在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标。

正确答案

见解析

解析

（1）由曲线：得

两式两边平方相加得：

即曲线的普通方程为：

由曲线：得：

即，所以

即曲线的直角坐标方程为:

（2）由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为

所以当时，的最小值为，此时点的坐标为

知识点

两点间的距离公式点的极坐标和直角坐标的互化参数方程化成普通方程

题型：简答题

简答题 · 10 分

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到曲线的最远距离。

正确答案

（1）C1：x2+(y-1)2=1，C2：x-y+1=0

（2）1

解析

（1）将（为参数）化为普通方程得，

将化为直角坐标方程得. (5分)

（2）由（1）知曲线表示圆心为，半径为1的圆，曲线表示直线，并且过圆心，所以曲线上的点到曲线上点的最远距离等于圆的半径1. (10分)

知识点

两点间的距离公式点的极坐标和直角坐标的互化参数方程化成普通方程

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知直线：（t为参数），曲线：。

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）求直线被曲线所截的弦长。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）把直线化成普通方程得，

把曲线：化成

∴其直角坐标方程为…………………5分

（2）由（1）知曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆

∴圆心到直线的距离, ∴弦长为…………10分

知识点

直线与圆相交的性质点的极坐标和直角坐标的互化参数方程化成普通方程

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数，)。

（1）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；

（2）若直线经过点(1,0)，求直线被曲线截得的线段的长。

正确答案

（1）y2=4x（2）8

解析

（1）对于曲线：，可化为.

把互化公式代入，得，即为所求.

(可验证原点也在曲线上) (5分)

（2）根据条件直线经过两定点和，所以其方程为.

由，消去并整理得.

令，则 .

所以. (10分)

知识点

直线与圆锥曲线的综合问题点的极坐标和直角坐标的互化参数方程化成普通方程

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