三角形中的几何计算_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（1）求的值；

（2）若，求△ABC的面积.

正确答案

（1）（2）9；

解析

试题分析：（1）利用两角和的正切公式及同角三角函数关系式求解；(2)求出角A的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出b，再利用诱导公式和两角和的正弦求出sinC，最后求三角形的面积

（1）由．则，可得，

所以＝．

（2）由，A∈（0，π），可得．

又由及正弦定理，可得，

由sinC＝sin（A＋B）=，可得．

设△ABC的面积为S，则．

考查方向

本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，运算求解能力，本题属于中档题．

解题思路

（1）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解．

（2）由，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=，可得sinC，利用三角形面积公式即可得解．

易错点

同角三角函数关系，诱导公式的应用.

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角形中的几何计算

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)两个实根.

23.求C的大小

24.若AB＝1，AC＝，求p的值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

C＝60°

解析

由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式

△＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0

所以p≤－2或p≥

由韦达定理，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p

于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0

从而tan(A＋B)＝

所以tanC＝－tan(A＋B)＝

所以C＝60°

考查方向

本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，意在考查考生运算求解能力，函数与方程、化归与转化等数学思想.

解题思路

1.第（1）问先求出p的范围，然后根据韦达定理和两角和的正切公式求出角C的大小；

易错点

1.不会利用韦达定理导出p和角A,B的关系；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

p＝－1－

解析

(II)由正弦定理，得

sinB＝

解得B＝45°或B＝135°(舍去)

于是A＝180°－B－C＝75°

则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝

所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－

考查方向

本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，意在考查考生运算求解能力，函数与方程、化归与转化等数学思想.

解题思路

.第（2）问由正弦定理先求出角B，A，后即可求出p的值。

易错点

没有注意p的取值范围导致出错。

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

17．在中，分别是角的对边，且．

（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．

正确答案

（1）；（2）

解析

试题分析：本题属简单的三角恒定变换和解三角形的问题，（1）先由正弦定理将边的关系转化为角的关系然后化简之后可以求出角B；（2)利用余弦定理以及已知条件即可解出三角形的面积。

试题解析：（1）∵，由正弦定理得:，

∴,

∵, ∴，

∵，∴，

∵，∴．

（2）将，,代入，

即，

∴，可得，

于是，

考查方向

本题考查了简单的三角恒定变换和解三角形的问题。

解题思路

本题考查了简单的三角恒定变换和解三角形的问题，解题步骤如下：（1）先由正弦定理将边的关系转化为角的关系然后化简之后可以求出角B；（2)利用余弦定理以及已知条件即可解出三角形的面积。

易错点

一般是容易出现计算失误。

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

16. 已知函数

（I）求函数的单调递减区间；

（II）在中，分别是角A、B、C的对边，，求边长c的值.

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题主要考察了二倍角的余弦公式，考察了两角和与差的正弦公式，考察了三角函数的恒等变换及化简求值，考察了余弦定理，余弦定理的应用，均值定理，考察了向量的数量积运算

解题思路

该题解题思路如下

1）使用和角公式展开

2）利用倍角公式对解析式降次

3）使用辅助角公式对解析式化简

4）利用特殊角的三角函数求值得到角C，

5）使用余弦定理得到a，b的关系，使用余弦定理求c

易错点

该题易于忽略了对C的范围的判断，该题属于简单

知识点

正弦函数的单调性三角形中的几何计算

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知的内角的对边分别为，且满足.

17.求的值；

18.若，求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（Ⅰ）∵，

∴，

∴，∴.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换，正余弦定理，以及三角形面积。

解题思路

1）第一问中用两角和差公式和三角恒等变换化简得到，再由正弦定理可得；

2）第二问中用倍余弦定理得到一个角，在用三角形面积公式求得面积。

易错点

1）第一问中想不到将角拆成；

2）第二问中用余弦定理求角时容易将特殊角记错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）.

解析

（Ⅱ）∵，，∴，

∴，∴.

∴，

即的面积的.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换，正余弦定理，以及三角形面积。

解题思路

1）第一问中用两角和差公式和三角恒等变换化简得到，再由正弦定理可得；

2）第二问中用倍余弦定理得到一个角，在用三角形面积公式求得面积。

易错点

1）第一问中想不到将角拆成；

2）第二问中用余弦定理求角时容易将特殊角记错。

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

13．设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.

正确答案

4

解析

由及正弦定理知：,又因为,所以，由余弦定理得：，所以;故填：4.

正弦定理与余弦定理.

考查方向

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

解题思路

本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将转化为3a=2b结合已知即可求得b的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题

易错点

注意运算的准确性及最后结果还需开方.

知识点

正弦定理的应用余弦定理的应用三角形中的几何计算

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

13．设△的内角的对边分别为，若，则________．

正确答案

．

解析

由得，，由正弦定理得，，因为，所以．由余弦定理得，因为，所以．

考查方向

本题主要考查正弦定理、余弦定理等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先根据正弦定理将角间的关系转化为边；2.利用余弦定理求出c边即可。

易错点

不会将题中的条件转化为边；

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知向量当时，有函数

17.若求的值；

18.在中，角的对边分别是，且满足求函数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,

得

即因为所以.所以

考查方向

向量的坐标运算，三角函数的重要性质，三角恒等变换公式，解三角形。

解题思路

先通过向量垂直，得到三角关系,利用辅助角公式得到三角函数的解析式y=sin(x-) +，=，再利用二倍角公式进行合理转化。

易错点

向量的坐标运算，三角函数的恒等变换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(0,)

解析

由得.根据正弦定理可得：

∴， ∴在中 ∠ . ∴,

, .故函数的取值范围为.

考查方向

向量的坐标运算，三角函数的重要性质，三角恒等变换公式，解三角形。

解题思路

将边用正弦定理进行转化，得到cosA=,所以A=,求出(B-)的取值范围，进而求出f(B)的范围。

易错点

向量的坐标运算，三角函数的恒等变换

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知向量当时，有函数

17.若求的值；

18.在中，角的对边分别是，且满足求函数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,

得

即因为所以.所以

考查方向

向量的坐标运算，三角函数的重要性质，三角恒等变换公式，解三角形。

解题思路

先通过向量垂直，得到三角关系,利用辅助角公式得到三角函数的解析式y=sin(x-) +，=，再利用二倍角公式进行合理转化。

易错点

向量的坐标运算，三角函数的恒等变换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(0,)

解析

由得.根据正弦定理可得：

∴， ∴在中 ∠ . ∴,

, .故函数的取值范围为.

考查方向

向量的坐标运算，三角函数的重要性质，三角恒等变换公式，解三角形。

解题思路

将边用正弦定理进行转化，得到cosA=,所以A=,求出(B-)的取值范围，进而求出f(B)的范围。

易错点

向量的坐标运算，三角函数的恒等变换

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

5．设的内角，，的对边分别为，，．

若，，，且，则（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意可知，由正弦定理可得,所以,所以C=60或120度

而A=30度，当C=60度时，B=90度，不符合b<c

当C=120度，B=30度，符合，所以选A

考查方向

正弦定理的性质和应用

解题思路

利用正弦定理求出角C的大小，然后求角B的大小

易错点

正弦定理公式记忆混淆

知识点

三角形中的几何计算

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点