- 生活中的圆周运动
- 共107题
如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的
（1）小球从在AB段运动的加速度的大小；
（2）小球从D点运动到A点所用的时间。
正确答案
见解析。
解析
（1）小球在BCD段运动时，受到重力
设小球在C点的速度大小为
小球从B点运动到C点，机械能守恒，设B点处小球的速度大小为
由于小球在AB段由静止开始做匀加速运动，设加速度大小为
由②③④式得 
（2）设小球在D处的速度大小为
设从D点运动到A点所用时间为
由④⑤⑥⑦⑧式得
知识点
图18（a）所示的装置中，小物块A.B质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑。初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆（A.B间距大于2r）。随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆作水平运动，滑杆的速度-时间图像如图18（b）所示。A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞。
（1）求A脱离滑杆时的速度uo，及A与B碰撞过程的机械能损失ΔE。
（2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t1，求ω得取值范围，及t1与ω的关系式。
（3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回道P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep，求ω的取值范围，及Ep与ω的关系式(弹簧始终在弹性限度内)。
正确答案
见解析。
解析
（1）设连杆的水平位移为x 取水平向右的方向为正则：
V0=
AB相碰由动量守恒得：mv0=2mv ②
AB系统机械能损失ΔE=
由①②③得：
（2）AB在pq上做匀减速直线运动，加速度为：
s≤l ⑥
0=v+at1 ⑦
由④⑤⑥⑦得：
（3）AB从p开始到弹簧压缩到最短时过程由能量守恒得：
可得到：
设AB返回时刚好到达P点时速度为0，则此时角速度最大
全过程由能量守恒得：
解得：
知识点
如图所示，质量为m1=lkg的小物块由静止轻轻放在水平匀速运动的传送带上，从A点随传送带运动到水平部分的最右端B点，经半圆轨道C点沿圆弧切线进入竖直光滑的半圆轨道，恰能做圆周运动。C点在B点的正上方，D点为轨道的最低点。小物块m1到达D点后与静止在D点的质量为m2=0.5kg小物块发生碰撞，碰撞后，两者均做平抛运动，m2恰好垂直于倾斜挡板打在挡板跟水平面相交的E点，m1落在F点，已知半圆轨道的半径R=0.5m，D点距水平面的高度h =0.45m，倾斜挡板与水平面之间的夹角θ=53°，不考虑空气阻力，试求：（1）摩擦力对小物块m1做的功；（2）水平面上EG间的距离；（3）小物块m1碰撞m2后经过D点时对轨道压力的大小。（题目中可能要用到的数据：g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
正确答案
见解析。
解析
（1）设小物体m1经过C点时的速度大小为v1，因为经过C点恰能做圆周运动，
由牛顿第二定律得：
小物体m1由A到B过程中，设摩擦力对小物体做的功为Wf，由动能定理得：
（2）小物体m2离开D点后做平抛运动，设经过时间t打在E点，由
设小物体m2打在E点时速度的水平、竖直分量分别为
速度跟竖直方向的夹角为θ，则：
解得：
（3）设小物体m1经过D时的速度大小为v2，对C点运动到D点的过程，
由机械能守恒定律得： 
小物体m1经过D点时，与m2发生碰撞，由动量守恒定律可得，
设轨道对m1的支持力大小为FN，由牛顿第二定律得：
代入数据，联立解得：FN=28N，（1分）由牛顿第三定律可知，
小物体m1对轨道的压力大小为：
知识点
14.（16分）一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度
（3）弹簧长度从
正确答案
（1）装置静止时，设
小环受到弹簧的弹力
小环受力平衡
小球受力平衡
解得
（2）设
小环受到弹簧的弹力
小环受力平衡 
对小球
解得
（3）弹簧长度为
小环受到弹簧的弹力
小环受力平衡
对小球
解得
整个过程弹簧弹性势能变化为零，则弹力做的功为零，由动能定理
解得
解析
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知识点
如图15所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde段是以O为圆心、R为半径的一小段圆弧。可视为质点的物块A和B紧靠在一起，静止于b处，A的质量是B的3倍。两物块在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动。B到b点时速度沿水平方向，此时轨道对B的支持力大小等于B所受重力的3/4，A与ab段的动摩擦因数为μ，重力加速度g，求：
（1）物块B在d点的速度大小;
（2）物块A滑行的距离s
正确答案
（1）υ =
解析
（1）B在d点，根据牛顿第二定律有：
mg −
解得：υ =
（2）B从b到d过程，只有重力做功，机械能守恒有：
3mυA = mυB ②
联立①②③
s =
知识点
如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动。开始轻杆处于水平状态。现给小球一个竖直向上的初速度v0=4m/s，g取10m/s2。
（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。
正确答案
见解析。
解析
（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v1。在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则F＋mg＝
联立解得F＝2N，由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上。
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v2，此时滑块的速度为V。在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有
mv2＋MV＝0
在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s1，滑块向左移动的距离为s2，任意时刻小球的水平速度大小为v3，滑块的速度大小为V/。由系统水平方向的动量守恒，得
mv3－MV′＝0，两边同乘以△t，得mv3△t－MV′△t＝0，故对任意时刻附近的微小间隔△t都成立，累积相加后，有ms1－Ms2＝0，又s1＋s2＝2L，得s1＝
知识点
小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地。如题24图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为
（1）求绳断时球的速度大小
（2）向绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
正确答案
见解析
解析
（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有
竖直方向
得v1=
由机械能守恒定律，有
得 v2=
（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小.
球做圆周运动的半径为R＝
由圆周运动向心力公式，有T－mg=
得T=
（3）设绳长为l,绳断时球的速度大小为v３,绳承受的最大拉力不变，
有T－mg= 
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l,水平位移为x，时间为t1.
有d－l= 
得x＝4
当l＝
知识点
图4是滑到压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑到底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B是，下列表述正确的有
正确答案
解析
设滑块在B点的速度大小为v,开始到B点由动能定理得： 
知识点
如图所示，水平面上固定一轨道，轨道所在平面与水平面垂直，其中bcd是一段以O为圆心、半径为R的圆弧，c为最高点，弯曲段abcde光滑，水平段ef粗糙，两部分平滑连接，a、O与ef在同一水平面上。可视为质点的物块静止于a点，某时刻给物块一个水平向右的初速度，物块沿轨道经过c点时，受到的支持力大小等于其重力的
求：
（1）物块经过c点时速度v的大小；
（2）物块在a点出发时速度v0的大小；
（3）物块在水平部分ef上滑行的距离x。
正确答案
见解析。
解析
（1）在c点对物块受力分析，根据牛顿运动定律：
（2）物块A从a到c，根据机械能守恒定律：
（3）设物块A在水平轨道上滑行的距离为x，从e到f，根据动能定理：
知识点
如图所示，将直径为2R的半圆形导轨固定在竖直面内的A、B两点，直径AB与竖直方向的夹角为60°。在导轨上套一质量为m的小圆环，原长为2R、劲度系数
（1）圆环的速率v；
（2）导轨对圆环的作用力F的大小?
正确答案
解：
（1）由几何知识得，圆环在C点、D点时，弹性绳形变量相同，弹性势能相等。由机械能守恒定律，有
由几何关系可知 
解得 
（2）圆环在D点受力如图，弹性绳的弹力
其中
由牛顿第二定律，有
解得
解析
略
知识点
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