平面的法向量
共243题

· 平面的法向量

平面的法向量
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题型：简答题

简答题

如图，四棱锥中，面，底面为矩形，分别是的中点，，

（1）求证：面；

（2）求证：面；

（3）求四棱锥的表面积。

正确答案

（1）取PD中点E，连结AE，NE

∵NE∥CD,AM∥CD,∴EN∥AM,又EN=AM=,所以AMNE为平行四边形

∴AE∥MN,平面PAD，MN平面PAD，故面；

（2）∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD

∵AE平面PAD，∴AE⊥CD又∵AE⊥PD且PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD

∵AE∥MN,∴MN⊥平面PCD

（3）

略

题型：填空题

填空题

已知=（3λ，6，λ+6），=（λ+1，3，2λ）为两平行平面的法向量，则λ=______．

正确答案

∵=（3λ，6，λ+6），=（λ+1，3，2λ）为两平行平面的法向量，∴∥．

∴存在实数k，使得=k，

∴，解得，

故答案为2

题型：简答题

简答题

已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．

正确答案

见解析

如图建立空间直角坐标系，

则＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）

＝（1，0，1），＝（0，－1，－1）

　　　设，，（、、，且均不为0）

设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，

由可得即

解得：＝（1，1，－1）

由可得即

解得＝（－1，1，－1），所以＝－， ∥，

所以平面A1EF∥平面B1MC．

注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥来证明．

题型：填空题

填空题

已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离．

正确答案

如图建立空间直角坐标系，

＝（1，1，0），＝（0，，1），＝（1，0，1）

设平面DBEF的法向量为＝（x，y，z），则有：

即 x＋y＝0

y＋z＝0

令x＝1, y=－1, z=, 取＝（1，－1，），则A1到平面DBEF的距离

题型：简答题

简答题

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.（1）证明：⊥平面（2）求平面与平面所成角的余弦值；

正确答案

（1）通过建系证明，．得到,.故⊥平面.

（2）二面角C－NB1－C1的余弦值为．

试题分析：（1）证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴两两垂直.以分别为轴建立空间直角坐标系如图．

则．

∴，

．∴,.

又与相交于， ∴⊥平面. ………6分

（2）∵⊥平面,∴是平面的一个法向量,

设为平面的一个法向量,则,

所以可取．则．

∴所求二面角C－NB1－C1的余弦值为． 12分

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了“以算代证”，对计算能力要求较高。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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