- 平面的法向量
- 共243题
已知点A(2,1,1),B(0,1,-1),C(1,0,1),试找出平面ABC的-个法向量.
正确答案
解:点A(2,1,1),B(0,1,-1),C(1,0,1),
∴=(-2,0,-2),
=(-1,-1,0),
设平面ABC的法向量为=(x,y,z);
则,
即,
令x=1,则y=-1,z=-1,
∴平面ABC的-个法向量为(1,-1,-1).
解析
解:点A(2,1,1),B(0,1,-1),C(1,0,1),
∴=(-2,0,-2),
=(-1,-1,0),
设平面ABC的法向量为=(x,y,z);
则,
即,
令x=1,则y=-1,z=-1,
∴平面ABC的-个法向量为(1,-1,-1).
(2015秋•房山区期末)已知平面α的法向量为(2,-4,-2),平面β的法向量为(-1,2,k),若α∥β,则k=﹙)
正确答案
解析
解:设平面α的法向量=(2,-4,-2),平面β的法向量=(-1,2,k).
∵α∥β,
∴∥,
∴∃实数λ使得=λ.
∴,得k=1.
故选:C.
我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系xOy中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且其法向量为 =(1,-2)的直线方程为1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比上述方法,在空间坐标系O-xyz中,经过点A(1,2,3),且其法向量为=(-1,-1,1)的平面方程为______.
正确答案
x+y-z=0
解析
解:根据法向量的定义知,当为平面α的法向量时,⊥α,
任取平面α内一点P(x,y,z),则⊥;
∵=(1-x,2-y,3-z),=(-1,-1,1);
∴•=-1•(1-x)-1•(2-y)+1•(3-z)=0,
化简得x+y-z=0.
故答案为:x+y-z=0.
已知PA⊥面ABCD,PA=AB=3,面ABCD为正方形.试建立适当的平面直角坐标系,分别求下列平面的法向量.
(1)面ABCD;
(2)面PAB;
(3)面PBC;
(4)面PCD.
正确答案
解:如图所示,建立空间直角坐标系.
则(1)面ABCD的法向量为(0,0,1);
(2)面PAB的法向量为(0,1,0);
(3)由B(3,0,0),C(3,3,0),P(0,0,3).
∴=(3,0,-3),=(3,3,-3),
设平面PBC是法向量为=(x,y,z),则,∴,取=(1,0,1);
(4)由(3)同理可得:平面PCD的法向量为:=(0,1,1).
解析
解:如图所示,建立空间直角坐标系.
则(1)面ABCD的法向量为(0,0,1);
(2)面PAB的法向量为(0,1,0);
(3)由B(3,0,0),C(3,3,0),P(0,0,3).
∴=(3,0,-3),=(3,3,-3),
设平面PBC是法向量为=(x,y,z),则,∴,取=(1,0,1);
(4)由(3)同理可得:平面PCD的法向量为:=(0,1,1).
(2015秋•陕西校级期末)已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量,平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是( )
正确答案
解析
解:由题意可知,所研究平面的法向量垂直于向量,和向量,
而=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),
选项A,(2,1,1)•(1,-4,2)=0,(0,2,4)•(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;
选项B,(2,1,1)•(,-1,)=0,(0,2,4)•(,-1,)=0满足垂直,故正确;
选项C,(2,1,1)•(-,1,)=0,(0,2,4)•(-,1,)=0满足垂直,故正确;
选项D,(2,1,1)•(0,-1,1)=0,但(0,2,4)•(0,-1,1)≠0,故错误.
故选D
扫码查看完整答案与解析