热门试卷

点到平面的距离为

如图，建立空间直角坐标系，

易得，．

故，

设是平面的法向量，

令，得，

则．

故点到平面的距离为．

存在使得

解：假设成立．

，

．

解得

所以存在使得．理由即为解答过程．

（1）要证明线面垂直可以借助于向量法来得到也可以利用线面垂直的判定定理来得到。

（2）

试题分析：解：如图：以点D位坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系……2分

（1），

  1分

  3分

又

，  5分

（2）

由（1）可知平面ADE的法向量  6分

  8分

设与平面所成的角为

与平面所成的角的余弦值为  10分

点评：主要是考查了线面角的求解，以及线面垂直的证明，属于基础题。

（1）见解析（2）·a

(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)

(1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．

证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．

∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），

∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，

∴⊥ ，

同理⊥，

而与不共线且相交于点A，

∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，

∴平面EFG∥平面ACB1；

又因为⊥平面EFG，所以⊥，

则·=0， 

即 (－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0，

化简得 xE－yF=0；

同理   xE－zG="0, " yF－zG=0，

易得  ==，

∴ △EFG为正三角形．

(2)解：因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=·a，

∴=

= ·sin600

= (·a)2·

=·a2 ．

此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，垂足为O1，则O1(，，a)，H(a，a，)，而作为平面A1C1D的法向量，

所以异面直线EF与B1C的距离设为d是

d = ==·a．

(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)