热门试卷

(1) 见解析；（2）.

试题分析：(1)经过建立空间直角坐标系，求出面和各自的法向量，通过证明，说明面；（2）将直线与面所成角的正弦转化为直线所在向量和平面的法向量的夹角的余弦的绝对值求解.

试题解析：(1)证明：取的中点,,因为,所以,

所以以为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，则,因为,所以,设面法向量为，则，令得，.所以，取面法向量为，因为，所以面.

(2) 解 ，设直线与平面所成角大小为，

则.

（1）详见解析；（2）.

试题分析：解法一利用综合法证明解题：

（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.

（2）如图4-1中，设AC与BD交点为O，所以OE为两平面AEC和BED的交线.过C作平面BED的垂线，其垂足必在直线EO上，即∠OEC为EC与平面BED所成的角.再设正方形边长为2，则OA=，AE=2，所以OE=，EC=，所以在三角形OEC中，利用余弦定理可得 cos∠OEC=，故所求为sin∠OEC=.

解法二利用向量法：以A为原点，AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图4-2所示，

（1）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2) (0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，从而有，，即BD⊥AC，BD⊥AE，所以BD⊥平面AEC，故平面BED⊥平面AEC.

（2）设平面BED的法向量为，由，得，故取    8分

而=(-2,2,2)，设直线EC与平面BED所成的角为，则有 .

试题解析：解法一：

（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，

所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，                    3分

又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，                        4分

所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED

故有平面AEC⊥平面BED.                                 6分

（2）设AC与BD交点为O，所以OE为两平面AEC和BED的交线.

过C作平面BED的垂线，其垂足必在直线EO上，

即∠OEC为EC与平面BED所成的角.      7分

设正方形边长为2，则OA=，AE=2，

所以OE=，EC=，       9分

所以在三角形OEC中，

由余弦定理得 cos∠OEC=，故所求为sin∠OEC=         12分

解法二：以A为原点，AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．  1分

（1）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2)      2分

(0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，

从而有，，

即BD⊥AC，BD⊥AE，

所以BD⊥平面AEC，

故平面BED⊥平面AEC.         6分

（2）设平面BED的法向量为，

由，得，故取    8分

而=(-2,2,2)，设直线EC与平面BED所成的角为，

则有                       12分

（1）详见解析；（2）．

试题分析：（1）证明直线平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，还可以利用面面平行的性质，本题由于分别为的中点，可得，，容易证明平面平面，可得直线平面；本题还可用向量法，由于底面,且底面为正方形,可以为原点,以分别为轴，建立空间坐标系，由题意写出各点的坐标，从而得，设平面的法向量为，求出一个法向量，计算出，即可；（2）求平面和平面的夹角，可用向量法，由（1）解法二可知平面的法向量，由题意可知：平面，故向量是平面的一个法向量,利用夹角公式即可求出平面和平面的夹角.

试题解析：（1）如图，以为原点,以为方向向量

建立空间直角坐标系

则.

.           4分

设平面的法向量为

即 令, 首发

则.                                    4分

又平面平面              6分

（2）底面是正方形,又平面 

又,平面。        8分

向量是平面的一个法向量,又由（1）知平面的法向量.                               10分

二面角的平面角为.                12分

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的平面角的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）此题关键是建立空间坐标系，需要找三条两两垂直的直线，注意到△ABC是边长为2的等边三角形，可考虑取AB的中点O，则，取BD的中点为G，则，从而得到三条两两垂直的直线，这样就可以建立空间坐标系，根据题中条件，求出个点坐标，要证明面，只需证平行平面的一个法向量即可，此题也可以用传统方法来解；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值，只需找出平面的一个法向量，利用法向量来求即可，值得注意的是，需要判断二面角是钝角还是锐角，否则求出的值不对.

试题解析：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连结OC,OD，则，即是与平面所成角，，取BD的中点为G，以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，则，取BC的中点为M，则面

，所以，所以面；

（Ⅱ）解：由上面知： ，又取平面DEC的一个法向量，又，设平面BCE的一个法向量,由,由此得平面BCE的一个法向量  则，所以二面角的平面角的余弦值为．