热门试卷

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）建立空间坐标,分别求出的坐标,利用数量积等于零即可；（Ⅱ）当为的中点时,求点到平面的距离,只需找平面的一条过点的斜线段在平面的法向量上的投影即可；（Ⅲ）设,因为平面的一个法向量为,只需求出平面的法向量,然后利用二面角为,根据夹角公式,求出即可.

试题解析：以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则,

（Ⅰ）,,故 ；

（Ⅱ）因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则 也即,得,从而,所以点到平面的距离为 ；

（Ⅲ）设平面的法向量, 而, 由,即,得,依题意得: , ,解得 (不合,舍去),     ∴时,二面角的大小为.

（Ⅰ）连接BD交AC于点，若∥平面，

则∥，点为BD中点，则为棱的中点……4分

（Ⅱ），，，，又

四边形为矩形，          ……5分

法（一）中点为坐标原点，以为轴，以为轴，

以为轴，如图建系

，设平面的法向量

，，不妨令，则       ……8分

，设平面的法向量

，不妨令则       ……11分

设二面角为，                    ……12分

法（二）

设二面角的平面角为，

取中点O，中点，

，

，             ……8分

同理设二面角的平面角为，

                         ……11分

设二面角为，，，     ……12分

略

（1）见解析（2）存在

(1)证明:连接DC1，因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE.因为AE∶EA1＝1∶2，AB＝2，AA1＝，所以AE＝，AD＝1，所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC1中，∠C1DC＝60°，所以∠EDC1＝90°，即ED⊥DC1，又BD∩DC1＝D，所以ED⊥平面BDC1，BC1⊂面BDC1，所以ED⊥BC1.

(2)解　假设存在点E满足条件，设AE＝h.

取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)，所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)，设平面DBE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则，令z1＝1，得n1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则，∴n2＝(，1,0)．

∴cos〈n1，n2〉＝＝cos 60°＝.解得h＝<，故存在点E，当AE＝时，二面角D-BE-A等于60°.