热门试卷

解：如图建立空间直角坐标系O—xyz，令AB＝AA1＝4，

则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），

B1（4，0，4），D（2，0，2），       …………（2分）

（1）（，4，0），面ABC的法向量为（0，0，4），

∵，平面ABC，

∴DE∥平面ABC．                  …………（4分）

（2）

 …………（6分）

∴

∵    …………（8分）

（3） 平面AEF的法向量为，设平面 B1AE的法向量为

   即    …………（10分）

令x＝2，则

∴

∴二面角B1—AE—F的余弦值为

略

证明：（1）在矩形ABCD中，由AP=BP=BC=2a可得PC=PD=………………1分

又CD=4a，由勾股定理可得PD⊥PC……………………3分

因为CF⊥平面ABCD，则PD⊥CF……………………5分

由PCCF=C可得PD⊥平面PFC……………………6分

故平面PCF⊥平面PDE……………………7分

（2）作FC中点M，连接EM、BM

由CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD可得CM∥DE，又CM=DE=a，得四边形DEMC为平行四边形……………………9分

故ME∥CD∥AB，且ME=D=AB，所以四边形AEMB为平行四边形

故AE∥BM……………………12分

又AE平面BCF，BM平面BCF，所以AE∥平面BCF. ……………………14分

略

解（证明）（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．

∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．

设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．

∴，，．

三棱锥D－ABC的表面积为．

（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．

∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．

（3）存在这样的点N，

当CN＝时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE＝O，连OF．

由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．

∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝．

略