平面的法向量
共243题

· 平面的法向量

平面的法向量
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题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

如图，正方体的棱长为，点为的中点．

正确答案

解：以顶点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

…………（2分）

（1）设是平面的一个法向量

……（4分）

又…………（6分）

（2）设是平面的一个法向量，

…………（8分）

又与所成的大小与二面角的大小相等，

故二面角的余弦值为 …………（12分）

略

题型：填空题

填空题

异面直线与上的单位向量分别为，, 且,

则两异面直线与所成角的大小为________.

正确答案

略

题型：填空题

填空题

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

正确答案

a或2a

法一：由已知得B1D⊥平面AC1，

又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，

故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF.

设AF＝x(0＜x＜3a)，则CF2＝x2＋4a2，

DF2＝a2＋(3a－x)2，又CD2＝a2＋9a2＝10a2，

∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，

解得x＝a或2a.

法二：分别以BA、BC、BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz，

则B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，设F(a,0，m)，D，C(0，a,0)，

＝(a，－a，m)，＝，＝(a,0，m－3a)，

∵CF⊥面B1DF，∴CF⊥B1F，⊥，即·＝0，·＝0，

可得2a2＋m(m－3a)＝0，解得m＝a或2a.

题型：简答题

简答题

如图，平面平面是正方形，是矩形，且，是的中点．

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值．

正确答案

（1）（2）

如图所示，建立空间直角坐标系．

则．

（1）由题意可得，

．

设平面的法向量，

由．

．

（2）因是平面的法向量，又平面，是平面

的法向量．

得．

故二面角的余弦值为．

题型：简答题

简答题

如图，在棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点

（1）求直线AM和CN所成角的余弦值；

（2）若P为B1C1的中点，求直线CN与平面MNP所成角的余弦值；

（3）P为B1C1上一点，且，当 B1D⊥面PMN时，求的值.

正确答案

解：建系 D(0,0,0) A(1,0,0) B(1,1,0) C(0,1,0)

B(1,1,1) C(0,1,1) D(0,0,1) M(1,1/2,1) N(1,1,1/2) 2分

(1) COS="2/5 " 6分

（2）P(1/2,1,1) ="(0,1/2,-1/2) " =(-1/2,1/2,0)

法向量则

则 (1,0,1/2) 8分

则cos= 12分

（3）(-1,-1,1) 因为E在BD上

设所以 14分

因为(0,1,-1) 则 16分

略

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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