平面的法向量
共243题

· 平面的法向量

平面的法向量
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题型：单选题

单选题

（2015秋•阜阳校级期末）若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（-2，0，-4），则（　　）

Al∥α

Bl⊥α

Cl⊂α

Dl与α相交但不垂直

正确答案

解析

解：∵=（1，0，2），=（-2，0，4），

∴=-2，

∴∥，

因此l⊥α．

故选：B．

题型：填空题

填空题

设平面α的一个法向量为=（1，2，-2），平面β的一个法向量为=（-2，-4，k），若α∥β，则k=______．

正确答案

解析

解：∵α∥β，∴∥，

∴存在实数λ使得．

∴，解得k=4．

故答案为：4．

题型：单选题

单选题

已知点O为坐标原点，点A（1，0，0）、点B（1，1，0），则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是（　　）

A（1，1，1）

B（1，0，1）

C（0，1，1）

D（0，0，1）

正确答案

解析

解：设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z）．

则，

解得x=y=0．

∴只有D中的向量（0，0，1）满足条件．

故选：D．

题型：简答题

简答题

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，分别求出平面ABC1D1和平面A1B1CD的一个法向量，并证明这两个平面互相垂直．

正确答案

解：设D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），

A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．

则=（0，1，0），=（-1，0，1）．

设平面ABC1D1的一个法向量为=（x，y，z），则

•=y=0，•=-x+z=0，不妨令x=1，则z=1．

故=（1，0，1）．

设平面A1B1CD的一个法向量为，同理，可求=（-1，0，1），

∵=（1，0，1）•（-1，0，1）=-1+0+1=0，

∴．

∴平面ABC1D1⊥平面A1B1CD．

解析

解：设D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），

A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．

则=（0，1，0），=（-1，0，1）．

设平面ABC1D1的一个法向量为=（x，y，z），则

•=y=0，•=-x+z=0，不妨令x=1，则z=1．

故=（1，0，1）．

设平面A1B1CD的一个法向量为，同理，可求=（-1，0，1），

∵=（1，0，1）•（-1，0，1）=-1+0+1=0，

∴．

∴平面ABC1D1⊥平面A1B1CD．

题型：填空题

填空题

直线l的方向向量为=（2，-4，3），平面α的一个法向量为=（p，q，6），若l⊥α，则p=______；q=______．

正确答案

-8

解析

解：∵l⊥α，

∴，

∴存在实数k使得，

∴，解得k=2，p=4，q=-8．

故答案分别为：4；-8．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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