热门试卷

解：(Ⅰ)f(x)=x3-3x2，f′(x)=3x2-6x，

∴k=-3，

又f(1)=-2，

∴所求切线方程为3x+y-1=0。

(Ⅱ)当a=0时，x2(x-b)+x3lnx+x2≥0，即b≤x+xlnx+1，

令g(x)=x+xlnx+l，g′(x)=lnx+2，

由g′(x)=0，得x=e-2，

 由上表知g（x）的最小值为，

所以有。

(Ⅲ)假设，即，

故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1，即[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1，

由s，t为f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab=0的两根可得，，

从而有，

，

即，这与a+b＜2矛盾，

故直线OA与直线OB不可能垂直。

(Ⅰ)解：设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

l1，l2分别是抛物线C在点A，B处的切线，

∴直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，

∵，

∴，得，   ①

∵A，B是抛物线C上的点，

∴，

∴直线l1的方程为，直线l2的方程为，

由，解得：，

∴点D的纵坐标为。

 (Ⅱ)证法一：∵F为抛物线C的焦点，

∴，

∴直线AF的斜率为，

直线BF的斜率为，

∵

，

∴，∴A，B，F三点共线。

证法二：∵F为抛物线C的焦点，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴A，B，F三点共线。

(Ⅲ)解：不存在，

证明如下：假设存在符合题意的圆，

设该圆的圆心为M，依题意，得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，

由l1⊥l2，得AD⊥BD，

∴四边形MADB是正方形，∴|AD|=|BD|，

∵点D的坐标为（，-1），∴，即p=2，

把点代入直线l1，得，

解得：或，

∴点A的坐标为（4，4）或，

同理可求得点B的坐标为（4，4）或，

由于A，B是抛物线C上的不同两点，

不妨令，

∴，

，

∴|AD|≠|BD|，这与|AD|= |BD|矛盾，

∴经过A，B两点且与l1，l2都相切的圆不存在。

解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．

∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴  对x∈（0，+∞）恒成立，

∴，

∵x＞0，则．

∴b的取值范围是．

（II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．

∵．

∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，ymin=b+1；

当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；

，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数， 当t=2时，ymin=4+2b．

综上所述：

（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．

则点M、N的横坐标为．

C1在点M处的切线斜率为．

C2在点N处的切线斜率为．

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即．

则

                                                                               =，

∴

设，则，                                                        （1）

令，则，

∵u＞1，∴r'（u）＞0，

所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！