热门试卷

（I）由题意得，g′（x）=ax2+x，

∵在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，

∴在点（1，g（1））处的切线斜率为-，即g′（1）=a+1=-，

解得a=-，

（II）由（I）得，f（x）=g′（x）ex=（ax2+x）ex，

则f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，

∵f（x）在[-1，1]上是单调增函数，

∴f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex≥0在[-1，1]上恒成立，

即ax2+（2a+1）x+1≥0在[-1，1]上恒成立，

①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，

当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）

②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，

因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1＞x2，

因此f（x）有极大值又有极小值．

若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．

若a＜0，可知x1＞0＞x2，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，

因为g（0）=1＞0，必须满足，即，得-≤a＜0，

综上可知，a的取值范围是[-，0]，

（III）当a=0时，方程即为xex=x+2，由于ex＞0，所以x=0不是方程的解，

所以原方程等价于ex--1=0，令h（x）=ex--1，

因为h′（x）=ex+＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，

所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）

又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，h（-3）=e-3-＜0，h（-2）=e-2＞0，

所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，

所以整数k的所有值为{-3，1}．

f′(x)=-a(x＞0)

（1）当a=1时，f′(x)=-1=

令f′（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）递增；

令f′（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）递减．

（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，

所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)=+2，

g(x)=x3+x2[+2-]=x3+(+2)x2-2x，g′（x）=3x2+（4+m）x-2，

因为对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[+f′(x)]在区间（t，3）上，

总存在极值，所以只需，解得-＜m＜-9

（3）设F(x)=f(x)-g(x)=2lnx-px-F′(x)=-p+==

当ρ=-1时，F′(x)=＞0，∴F(x)在[1，2]递增，所以F（1）=4＞0成立；

1+＜-1，即-1＜p＜0时，不成立，（舍）

-1＜1+≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得ρ≤-1

所以，此时ρ＜-1和ρ=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立；ρ＞-1时，均不成立．

综上，ρ≤-1

解：（1）因为f′（x）=3x2+2x

所以曲线y=f （x）在（xn+1，f （xn-1））处的切线斜率kn+1=3xn+12+2xn+1

因为过（0，0）和（xn，f （xn））两点的直线斜率是xn2+xn

所以xn2+xn= 3xn+12+2xn+1。

（2）因为函数h（x）=x2+x 当x>0时单调递增，

而xn2+xn=3xa+12+2xn+1 ≤4xn+12+2xn+1

所以，即

因此

又因为

令yn=xn2+xn则

因为y1=x21+x1=2

所以

因此

故。

解：（I）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）

由题意可得，kAP==，

由导数的几何意义可得，kAP=2x1，

∴=2x1，

整理可得，

同理可得﹣1=0，

从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，

∴x=a±，k1=，k2=，

∴k1·k2==﹣4，

即k1·k2为定值﹣4．

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由于y'=2x，

故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），

则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）

∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2，

则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．

（Ⅲ）即A（a，0）点到PQ的距离，

要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，

而A到直线PQ的距离d===≥，

当且仅当，

即a2=时取等号，

∴最小值为．

∵y=x2-2x+2，∴y′=2x-2，∴tanα=2×2-2=2，

又∵y=x3-3x2+x+5，∴y′=3x2-6x+，∴tanβ=3×22-6×2+=，

∴tanαtanβ=1，即tanβ=cotα，由0＜α、β＜得β=-α，

∴α+β=＜，tan=1且sin=sin=．