热门试卷

解：（1）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）

∵丨DM丨=m丨DA丨，

∴x=x0，|y|=m|y0|

∴x0=x，|y0|=|y|①

∵点A在圆上运动，

∴②

①代入②即得所求曲线C的方程为

∵m∈（0，1）∪（1，+∞），

∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为（），

m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为（），

（2）如图2、3，∵x1∈（0，1），

设P（x1，y1），H（x2，y2），

则Q（x2，y2），N（0，y1），

∵P，H两点在椭圆C上，

∴

①-②可得③

∵Q，N，H三点共线，

∴kQN=kQH，

∴

∴kPQ·kPH=

∵PQ⊥PH，

∴kPQ·kPH=-1

∴

∵m＞0，

∴

故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH。

解：（1）由题设知a2=b2+c2，e=，

由点（1，e）在椭圆上，得，

∴b=1，c2=a2-1

由点（e，）在椭圆上，得

∴，

∴a2=2

∴椭圆的方程为。

（2）解：由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），

又∵直线AF1与直线BF2平行，

∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x-1=my

设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，

∴由，可得（m2+2）-2my1-1=0

∴，

∴|AF1|=①

同理|BF2|=②

（i）由①②得|AF1|-|BF2|=，

∴，解得m2=2

∵注意到m＞0，

∴m=

∴直线AF1的斜率为。

（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，

∴，即

由点B在椭圆上知，，

∴

同理

∴PF1+PF2==

由①②得，，，

∴PF1+PF2=

∴PF1+PF2是定值。

解：（Ⅰ）设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0），

由题设得，解得，

所以双曲线方程为．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），

点的坐标满足方程组，

将①式代入②式，得，

整理得，

此方程有两个不等实根，于是，且，

整理得，　③

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标满足，，

从而线段MN的垂直平分线方程为，

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，

由题设可得，

整理得，k≠0，

将上式代入③式得，

整理得，k≠0，

解得或，

所以k的取值范围是．

解：（1）将直线l的方程代入双曲线C的方程后，整理得

 ①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得k的取值范围是。

（2）设A、B两点的坐标分别为、

则由①式得 ②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）

则由FA⊥FB得：，即

整理得 ③

把②式及代入③式化简得

解得或（舍去）

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。

（1）解：依题意，解得，

所以双曲线的方程为；

（2）证明：由（1）得，，

从而以为直径的圆的方程是，

因为点的坐标满足方程，

故点A在以为直径的圆上，

所以。

解：（1）∵a=4，b=3，c=5，

∴双曲线顶点的坐标为（±4，0），离心率e=；

（2）F（5，0），右准线方程为x=、一条渐近线方程为y=x，

解方程组，得D（，），

kFD=，kOD=，kFD·kOD=-1，

所以△ODF为直角三角形。

（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F的距离与动点P到直线的距离相等，

由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为y=x2．

（Ⅱ）证明：设，

由，得，

所以，

设，则，

因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为，

由y=x2，可得y′=2x，所以当x=时，y′=k，

所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行．

（Ⅲ）解：由已知，k≠0，设直线l的垂线为l′：，

代入y=x2，可得， （*）

若存在两点关于直线l对称，则，

又在l上，

所以，

由方程（*）有两个不等实根，

所以，即，

所以，解得或。

（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：，

所以圆心M（0，4）到抛物线的距离是。

（Ⅱ）解：设，

由题意得，

设过点P的圆C2的切线方程为y-x02=k(x-x0)， ①

则，

即，

设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，

所以，，

将①代入y=x2得，

由于x0是此方程的根，故，

所以，

由MP⊥AB，得，

解得，即点P的坐标为，

所以直线l的方程为。