直线的倾斜角与斜率_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

正确答案

解：如图，点A，B在抛物线上，

设，OA、OB的斜率分别为，

∴，

由OA⊥AB，得， ①

依点A在AB上，得直线AB方程， ②

由OM⊥AB，得直线OM方程，③

设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以，

并利用③式整理得， ④

由③、④两式得，

由①式知，，

∴，

因为A、B是原点以外的两点，

所以x≠0，

所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。

1

题型：简答题

|

简答题

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。

（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。

正确答案

解：（Ⅰ），D=-2，E=-4，F=m，

=20-4m＞0，解得：m＜5。

（Ⅱ），

将x=4-2y代入得，∴，，

∵OM⊥ON，得出：，

∴，

∴。

（Ⅲ）设圆心为（a，b），，

半径，

∴圆的方程为。

1

题型：简答题

|

简答题

已知圆C：x2+y2+x-6y+m=0和直线l：x+y-3=0。

（Ⅰ）若圆C与直线l交于A、B两点，且CA⊥CB，求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线l交于P、Q两点，是否存在m，使OP⊥OQ？

正确答案

解：（Ⅰ），

故所求圆的方程为：；

（Ⅱ）假设存在m，使OP⊥OQ，则设，

联立，消y，得，

且符合，存在。

1

题型：简答题

|

简答题

如图，椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长。

（Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交与D，E，

（ⅰ）证明：MD⊥ME；

（ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2，问：是否存在直线l，使得=? 请说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）由题意知，从而a=2b，

又，解得a=2，b=1，

故C1，C2的方程分别为。

（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，

由得，

设，则是上述方程的两个实根，于是，

又点M的坐标为（0，-1），

所以，

故MA⊥MB，即MD⊥ME。

（ⅱ）设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x-1，

由解得或，则点A的坐标为，

又直线MB的斜率为，

同理可得点B的坐标为，

于是，

由得，

解得或，

则点D的坐标为；

又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标，

于是，

因此，

由题意知，解得或，

又由点A，B的坐标可知，，所以，

故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为和。

1

题型：简答题

|

简答题

如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）连接AC，依题意设椭圆的标准方程为

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，

∴AC=5

∴CA+CB=5+3=2a，a=4

又2c=4，

∴c=2，从而b=，

∴椭圆的标准方程为。

（2）由题意知，当l与x轴垂直时，不满足|ME|=|NE|，当l与x轴平行时，|ME|=|NE|显然成立，此时k=0

设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）

由消去y得

（3+4k2）x2+8kmx+4m2-48=0，

∵Δ=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-48）>0，

∴16k2+12>m2，①

令M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为F（x0，y0）

则

∵|ME|=|NE|，

∴EF⊥MN，

∴kEF×k=-1

即

化简得m=-（4k2+3），

结合①得16k2+12>（4k2+3）2，

即16k4+8k2-3＜0，

解之得（k≠0）

综上所述，存在满足条件的直线l，且其斜率k的取值范围为。

1

题型：简答题

|

简答题

椭圆与直线x+y-1=0相交于A、B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，

(1)求椭圆E与圆x2+y2=1的交点坐标；

(2)当|AB|=时，求椭圆E的方程。

正确答案

解：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

则A、B坐标是方程组的解，

消去y，得，①

当，

即时，，同理，；

，②

由，得，③

由②、③，得，于是，

故椭圆E与圆x2+y2=1的交点坐标为。

(2)由①知，同理，

则AB中点为，

在Rt△AOB中，，

∴，④

由②、④及a＞b＞0，解得，

故椭圆E的方程为。

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点在椭圆C上，抛物线E以椭圆C的中心为顶点，F2为焦点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l过点F2，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点，

①若F1B⊥F2B，求|AF2|-|BF2|的值；

②试探究：线段AB与F2D的长度能否相等？如果|AB|=|F2D|，求直线l的方程。

正确答案

解：（1）由题意，设椭圆C的方程为：

∴=4

∴a=2

又c=1

∴

故椭圆C的方程为：。

（2）由题意可得，抛物线E：y2=4x，

设l：y=k（x-1）（k≠0），

联立方程组

消去y得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0，

Δ=16（k2+1）>0恒成立

设A（x1，y1），B（x2，y2），

，x1·x2=1

①∵

又，

∴

∴x1-x2=4，

|AF2|-|BF2|=x1-x2=4。

②假设|AB|=|F2D|

因为直线l过点F2，

所以

又D（0，-k），F2（1，0）

∴

由|AB|=|F2D|

∴

∴k4-16k2-16=0，

所以（负值舍去），

从而，

所以当l的方程为时有|AB|=|F2D|。

1

题型：简答题

|

简答题

已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（-，1）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足。

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C上任一动点N（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为N1（x1，y1），求3x1-4y1的取值范围。

正确答案

解：（1）由已知，点在椭圆上，

所以 ①

又

所以点M是PF2的中点，点M在y轴上

故

所以

所以 ②

由①②解得

所以所求的椭圆方程为；

（2）因为N（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为N1（x1，y1），

所以

解得

所以3x1-4y1=-5x0 由点N（x0，y0）在椭圆上，故-2≤x0≤2，

所以-10≤-5x0≤10，

所以3x1-4y1的取值范围为[-10，10]。

1

题型：简答题

|

简答题

已知直线x-y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点，

（1）求椭圆S的方程；

（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，

①若直线PA平分线段MN，求k的值；

②对任意k＞0，求证：PA⊥PB。

正确答案

解：（1）在直线x-y+1=0中，

令x=0得y=1；令y=0得x=-1，

∴c=b=1，

∴，

则椭圆方程为；

（2）①，

M、N的中点坐标为，

所以；

②将直线PA方程y=kx代入，

解得，

记，

则，

于是C（m，0），

故直线AB方程为，

代入椭圆方程得，

由，

∴，

∴PA⊥PB。

1

题型：简答题

|

简答题

设椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4。

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1 （x1，y1），求3x1-4y1的取值范围.

正确答案

解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2

∵

∴，

∴所求椭圆C的方程为。

（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1）

∴

解得：

∴3x1-4y1=-5x0∵点P（x0，y0）在椭圆C：上

∴-2≤x0≤2，则-10≤-5x0≤10

∴3x1-4y1的取值范围为[-10，10]。

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案